В честь какого бережка назвали младенца? Может в честь того, на котором его родил мамаша? А может и не младенца так звали, а уже взрослого, поселившегося на берегу? Трудно сказать сейчас. Но такого рода фамилий, обозначавших какое-то место не мало.. (Э)
Бережковский, Бережинский - польско укрианские фамилии от географических названий.
Бережной, Береднов - в равной степени от берега и от глагола береч.