Бадай - шалун, повеса, озорник. "Ах ты бадай этакой, долго ли не перестанешь шалить!" - бранила мать ребенка. (Ф). Да еще одно значение - упрямец, неслух. Те же значения имеют фамилии Обатуров, Оботуров. (У) . Вероятна та же основа бадай - бадаш - бадашка. Такж ев тверсикх говорах бадяшка - ведерко, банная шайка, а в новгородских бадяжка - игрушка. (Даль), Оба этих слова могли образовать прозвтще, клоторое изменилось или на стадии прозвища или на стадии фамилии.