Вариацио́нная стати́стика - раздел математической статистики, изучает свойства совокупностей объектов, в которых показатель изучаемого признака изменяется (варьирует) от объекта к объекту.
* * *
ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА - ВАРИАЦИО́ННАЯ СТАТИ́СТИКА, раздел математической статистики, изучает свойства совокупностей объектов, в которых показатель изучаемого признака изменяется (варьирует) от объекта к объекту.
ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА - раздел математической статистики, изучает свойства совокупностей объектов, в которых показатель изучаемого признака изменяется (варьирует) от объекта к объекту.
Вариацио́нное исчисле́ние - раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, например, изопериметрические задачи.
* * *
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - ВАРИАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида. Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных дуг y = y(x), соединяющих две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую дугу, для которой не обращающийся в бесконечность интеграл
принимал экстремальное значение. В 1744 Л.Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнению
Другие необходимые условия были открыты А. Лежандром в 1786, К. Якоби в 1837 и К. Вейерштрассом. В 1879 Вейерштрасс доказал ряд достаточных условий, позволяющих установить, доставляет ли та или иная дуга экстремальное значение интегралу J. Наглядным примером применения общей теории вариационного исчисления на плоскости служит задача о нахождении поверхности вращения с минимальной площадью, которая была изучена одной из первых. Любая дуга y = y(x), соединяющая две точки P1 и P2 на плоскости xy, порождает поверхность вращения вокруг оси x, площадь которой равна
Минимизирующая дуга должна принадлежать двупараметрическому семейству цепных линий
которое является общим решением уравнения Эйлера. Существование минимума проверяется с помощью теоремы Вейерштрасса о достаточном условии. Такую минимальную поверхность можно наглядно продемонстрировать посредством соответствующих физических приспособлений. Изготовим проволочную рамку, в которой осью x служит проволока, соединяющая центры двух колец с радиусами y1 и y2; каждое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси x. Если такую рамку опустить в мыльный раствор и затем вынуть, то оставшаяся на ней мыльная пленка примет форму минимальной поверхности, порожденной цепной линией (кольца должны находиться на небольшом расстоянии друг от друга). Рассматривались различные модификации этой простейшей задачи на плоскости. Концы дуги, один или оба, могут быть подвижными, как в задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя кривыми на плоскости. Подробно изучалась задача о нахождении дуги y = y(x), для которой интеграл J принимает экстремальное значение, в то время как другой интеграл
остается постоянным. К задачам этого типа относится задача о нахождении плоской кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Такой кривой является окружность, но строгое доказательство этого утверждения непросто. В 1806 Ж. Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные дуг yi = yi(x), i = 1, ..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1), ..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2), ..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ja (x, y1, ..., yn) = 0, a = 1, ..., m < n, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность интеграл
принимает экстремальное значение. Эта задача имеет многочисленные приложения в физике и механике. Современные математики рассмотрели и другие обобщения общей задачи вариационного исчисления и посвятили им множество работ.
ЛИТЕРАТУРА
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., 1974 Коша А. Вариационное исчисление. М., 1983
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - математическая наука, имеющая целью исследование изменений, происходящих в функции, если переменные, входящие в состав её, получат некоторое приращение. Открыто Лагранжем в 1760.
ВАРИАЦИОННОСТЬ и, ж. variation f. Одной из важнейших закономерностей бытования документа является его вариационность. Она выражается в непременной изменчивости его текста на первой стадии бытования документа, в момент создания и даже, в процессе дальнейшего бытования. ОА 2001 1 23.
Вариацио́нные при́нципы меха́ники - положения, выражающие столь общие свойства механической системы, что из них как следствия получаются уравнения движения или условия равновесия данной системы. Вариационные принципы механики определяют, чем истинное движение (состояние) механической системы отличается от других движений, которые допускаются наложенными на систему связями. Примеры вариационных принципов механики - наименьшего действия принцип, Д’Аламбера-Лагранжа принцип, возможных перемещений принцип.
* * *
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ - ВАРИАЦИО́ННЫЕ ПРИ́НЦИПЫ МЕХА́НИКИ, положения, выражающие столь общие свойства механической системы, что из них как следствия получаются уравнения движения или условия равновесия данной системы. Вариационные принципы механики определяют, чем истинное движение (состояние) механической системы отличается от др. движений, которые допускаются наложенными на систему связями. Примеры вариационных принципов механики - наименьшего действия принцип (см. НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ПРИНЦИП), "-ДАламбера Лагранжа принцип (см. Д`АЛАМБЕРА - ЛАГРАНЖА ПРИНЦИП), возможных перемещений принцип (см. ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП).
ВАРИАЦИОННЫЕ принципы МЕХАНИКИ - положения, выражающие столь общие свойства механической системы, что из них как следствия получаются уравнения движения или условия равновесия данной системы. Вариационные принципы механики определяют, чем истинное движение (состояние) механической системы отличается от др. движений, которые допускаются наложенными на систему связями. Примеры вариационных принципов механики - наименьшего действия принцип, Д Аламбера - Лагранжа принцип, возможных перемещений принцип.
прил.
1. соотн. с сущ. вариация I, связанный с ним
2. Связанный с изучением свойств изменяющихся явлений, переменных величин.
ВАРИАЦИО́ННЫЙ, вариационная, вариационное (книжн. научн.). Выражающий вариации чего-нибудь; являющийся вариацией чего-нибудь.
• Вариационное исчисление (мат.) - один из отделов математики.
-ая, -ое.
прил. к вариация; являющийся вариацией.
Вариационная форма в музыке. Вариационный ряд в биологии.
◊
вариационное исчисление
раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций.
вариацио́нный, вариацио́нная, вариацио́нное, вариацио́нные, вариацио́нного, вариацио́нной, вариацио́нных, вариацио́нному, вариацио́нным, вариацио́нную, вариацио́нною, вариацио́нными, вариацио́нном, вариацио́нен, вариацио́нна, вариацио́нно, вариацио́нны, вариацио́ннее, повариацио́ннее, вариацио́нней, повариацио́нней
вариацио́нный
- прил. от сл. вариация; в-ое исчисление - раздел математики, изучающий наибольшие и наименьшие значения переменных величин (экстремумы), зависящих от выбора одной или нескольких функций, методом вариаций, т. е. малых изменений аргументов и функций.
ВАРИАЦИОННЫЙ ая, ое. variation f., нем. Variation, пол. waryacyja. Отн. к вариации. БАС-2.♦ мат. Раздел анализа бесконечно малых величин. Дифференциальное, интегральное и вариационное исчисление. 1797. Барсов Алгебра <т. л.>. Магнитные вариационные инструменты на столбах из порцеленового, не заключающего железа кирпича. ВО 1888 25 10. - Лекс.: Энц. Лекс. 1837: вариационный; САН 1847: вариацио/нный; Даль: вариацио/нный; Сл. 18: вариационный 1797.
Вариацио́нный ряд - последовательность значений наблюдаемой величины, расположенных в порядке возрастания. Например, вариационный ряд значений 1, -3, 0, 5, 3, 4 имеет вид -3, 0, 1, 3, 4, 5.
* * *
ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД - ВАРИАЦИО́ННЫЙ РЯД, последовательность значений наблюденной величины, расположенных в порядке возрастания. Напр., вариационный ряд значений 1, -3, 0, 5, 3, 4 имеет вид -3, 0, 1, 3, 4, 5.
ВАРИАЦИОННЫЙ ряд - последовательность значений наблюденной величины, расположенных в порядке возрастания. Напр., вариационный ряд значений 1, - 3, 0, 5, 3, 4 имеет вид -3, 0, 1, 3, 4, 5.