Фамилии могла означать "живущий за гаем". Гай - географический термин с несколькими значениями: лиственный лес, дубрава, роща, тростниковая пойма, плавни, заливной луг и другие (Мурзаев, Словарь народных географических терминов). Существует множество географических названий с термином гай. Фамилия старая. В "Ономастиконе" Веселовского есть: Загайнов Семен, крестьянин, 1500 г., Владимир.