ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ - раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что обычно их рассматривают порознь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что по существу речь идет о различии, с одной стороны, в детальном изучении основных понятий математического анализа (таких, как непрерывность, дифференцирование, интегрирование и т.п.), а с другой стороны, в теоретическом развитии анализа конкретных функций, представимых степенными рядами. Одним из достижений теории функций действительного переменного стало создание хорошей теории интегрирования, которую мы рассмотрим ниже.
См. также
РЯДЫ;
ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Функции, используемые в элементарном анализе, задаются формулами. Их графики обычно можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, как, например, график функции y = sinx, или они состоят из отдельных кусков, обладающих этим свойством, как, например, график функции y = tgx (рис. 1). Первоначально, когда строгое определение непрерывности отсутствовало, все функции, графики которых состоят из одного куска, считались обязательно непрерывными. Например, считалось, что непрерывной можно считать функцию, график которой не может лежать по обе стороны от прямой, не пересекая ее. Иначе говоря, непрерывная функция, принимая какие-либо два значения, непременно принимает и все промежуточные значения.
Однако нетрудно найти функции, которые, хотя и заданы формулами и обладают указанным свойством, ведут себя не как непрерывные. Например, функция f(x) = sin(1/x) при x № 0 и f(0) = 0 (рис. 2) обладает свойством, о котором идет речь, однако, по мнению многих, не является непрерывной. Можно построить еще более удивительные примеры функций, принимающих действительное значение на любом сколь угодно малом интервале, но тем не менее не являющихся непрерывными. Графики таких функций не только невозможно начертить, но иногда даже и четко представить себе. С другой стороны, работы Ж. Фурье (1768-1830) и П. Дирихле (1805-1859), связанные с рядами Фурье показали, что некоторые заведомо разрывные функции задаются формулами, по крайней мере, если в число последних включить бесконечные ряды.
Рис. 1.
Рис. 2.
Возникшие при этом логические трудности были постепенно преодолены с помощью приема, типичного для теории функций: понятиям "функция" и "непрерывность" были даны строгие определения и исследованы вытекающие из них логические следствия. Оказалось, что эти следствия не находятся в точном соответствии с интуицией, о чем свидетельствуют приведенные примеры. Один из самых знаменитых примеров такого рода был предложен К.Вейерштрассом (1815-1897) - пример непрерывной, но нигде (ни в одной точке) не дифференцируемой функции. У математика, столкнувшегося с таким примером, может возникнуть много вопросов, например, "У каких непрерывных функций существуют производные?", или "Как можно изменить понятие производной, чтобы оно стало применимым к большинству непрерывных функций?", или "Какими дополнительными свойствами обладают недифференцируемые функции?". Проблемами такого рода и занимается теория функций действительного переменного. Первое, что требуется от теории функций, - дать определение понятия "функции". Мы не станем приводить здесь самое общее из возможных определений, а просто скажем, что функция - это правило, которое каждому числу (или каждой точке) из данного множества ставит в соответствие другое число, называемое значением функции в этой точке. (См. ФУНКЦИЯ.) Например, одна функция ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат, другая ставит в соответствие каждому положительному действительному числу его логарифм, третья функция ставит в соответствие каждому рациональному числу, записанному в виде несократимой дроби, знаменатель этой дроби. Все названные функции имеют различные области определения; областью определения функции называется множество точек, на котором она определена. Функция называется непрерывной в точке, если любому бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции. Функция, непрерывная во всех точках области определения, называется непрерывной. Например, функция, принимающая в точке x значение x2, непрерывна; но функция, принимающая в точке x значение, равное ближайшему к x целому числу, не превосходящему x, непрерывной не является. В самом деле, значение этой функции изменяется скачком с 0 на 1, когда x изменяется от значения, меньшего 1/2 на сколь угодно малую величину, до значения, большего 1/2, на сколь угодно малую величину. На формальном математическом языке можно сказать, что функция f, принимающая значения f(x), непрерывна в точке y в том случае, если для любого положительного числа e найдется такое число d, что для всех точек x из области определения f(x), удовлетворяющих условию |x - y| < d, выполняется неравенство |f(x) - f(y)| < e. Можно показать, что непрерывные функции, областями определения которых являются подмножества множества действительных чисел, обладают многочисленными свойствами, некоторые из которых интуитивно очевидны, а некоторые - нет. Например, сумма или произведение непрерывных функций также непрерывны. Если непрерывная функция в некоторой точке положительна, то всегда найдется достаточно малая ее окрестность, в которой она останется положительной. Если непрерывная функция принимает в двух точках различные значения a и b, то в промежуточных точках она принимает все значения, заключенные между a и b. Из последнего свойства можно заключить, например, что если растянутой резинке дать сжаться таким образом, чтобы она оставалась прямолинейной (не провисала), то одна из точек на ней останется неподвижной. Функции, с которыми приходится иметь дело в математическом анализе, как правило, всюду непрерывны в области их определения, за исключением, быть может, отдельных изолированных точек. В то же время было построено много примеров разных функций как разрывных, так и нет, обладающих свойствами, противоречащими интуиции. Хотя сумма двух непрерывных функций непрерывна, а следовательно, непрерывна и сумма любого конечного числа непрерывных функций, аналогичное утверждение для бесконечных сумм неверно. Например, бесконечная сумма
является периодической (с периодом 2p) разрывной функцией, принимающей значения 0 при x = 0 и (1/2)(p - x) в интервале от 0 до 2p (рис. 3). Для того, чтобы ряд из непрерывных функций обязательно имел непрерывную сумму, необходимы более сильные условия, чем сходимость в каждой точке общей области определения функций. С другой стороны, предел непрерывных функций или повторный предел имеет все основания считаться формулой, и один из разделов теории функций занимается проблемой выяснения, какого рода функции представимы такими формулами. Согласно классификации разрывных функций, предложенной Р.Бэром (около 1899) непрерывные функции принадлежат 0-му классу, пределы непрерывных функций принадлежат 1-му классу и т.д. Функция, график которой изображен на рис. 3, принадлежит 1-му классу; функция
Рис. 3.
принимающая значения 1 при рациональных x и 0 при иррациональных x, принадлежит 2-му классу. Существуют функции, принадлежащие классу сколь угодно большого порядка, а также функции, вообще не принадлежащие какому-либо классу Бэра. Были построены примеры, показывающие, что непрерывная функция необязательно должна иметь производную в каждой точке. У.Дини в 1877 предложил новое определение производной, применимое к любой функции и позволяющее заменить обычную производную во многих приложениях. Анализ функций с помощью различных обобщений производных позволил обнаружить многие свойства разрывных функций и показал, что большинство функций общего вида обладают внутренней симметрией. Одним из важных классов функций являются так называемые монотонные функции, т.е. либо возрастающие, либо убывающие. (Возрастающей называется функция, которая большим значениям переменной из области определения ставит в соответствие большие значения функции.) Разность двух возрастающих функций обладает свойством, известным под названием "ограниченная вариация", что означает, что график такой разности не может совершать слишком сильные колебания; каждая функция ограниченной вариации записывается в виде разности двух монотонных функций. Лишь те функции, которые "сшиты" из конечного числа монотонных функций, могут быть достаточно убедительно представлены в графическом виде. Наконец, монотонная функция почти всюду дифференцируема. Словам "почти всюду" можно придать точный смысл, который восходит к теории интегрирования, но можно это сделать и независимо от теории. Множество действительных чисел называется множеством меры нуль, если его можно покрыть счетным семейством интервалов сколь угодно малой суммарной длины. Например, множество рациональных чисел имеет меру нуль, так как оно счетно: при любом сколь угодно малом числе e мы можем покрыть первое рациональное число интервалом длиной e/2, второе число - интервалом длиной e/4, третье - интервалом длиной e/8 и т.д.; в результате все множество окажется покрыто интервалами (частично пересекающимися), суммарная длина которых составляет e(1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = e. Множество точек, в которых монотонная функция не имеет производной, является множеством меры нуль. В теории функций имеется много теорем, утверждающих, что некоторая функция обладает каким-либо свойством всюду, кроме множества меры нуль или множества, "малого" в том или ином смысле. Хотя не все непрерывные функции дифференцируемы, многие дифференцируемые функции встречаются на практике, и все дифференцируемые функции непрерывны. В качестве примера свойств дифференцируемых функций приведем теорему Ролля, которая утверждает, что если действительная функция непрерывна на некотором отрезке, имеет в каждой его точке производную, а на концах принимает равные значения, то на этом интервале существует хотя бы одна точка, в которой производная этой функции равна нулю. Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что на графике такой функции существует такая точка, принадлежащая заданному интервалу, что в ней касательная к графику параллельна оси x. Отсюда нетрудно вывести так называемую теорему о среднем: если функция f непрерывна и дифференцируема на отрезке и a и b - две точки, принадлежащие этому отрезку, то f (b) - f (a) = (b - a)f ' (c), где c - некоторая точка между a и b. Другим важным свойством действительной функции является выпуклость. Говорят, что функция выпукла вниз, если дуга ее графика, заключенная между любыми двумя точками, лежит ниже соединяющей их хорды (рис. 4). Можно показать, что функция выпукла вниз, если для любого интервала, стягивающая его хорда, находится выше кривой. Выпуклая вниз функция дифференцируема всюду, кроме, быть может, счетного числа "изломов", а ее производная сама является возрастающей функцией.
Рис. 4.
Еще одним типичным примером задач теории функций действительного переменного может служить задача аппроксимации данной функции функциями определенного рода. Если аппроксимирующие функции - суммы синусов или косинусов, то это центральная задача гармонического анализа; на практике здесь часто имеется ввиду представление данного колебания суммой гармоник. Задача приближения непрерывных функций многочленами возникает во многих практически важных областях, например, при проектировании механических устройств для вычерчивания (приближенного) графика заданной кривой или при создании быстродействующих компьютерных программ для вычисления значений сложных функций. Согласно доказанной Вейерштрассом в 1885 теореме о приближении функций, любую функцию, непрерывную на замкнутом интервале, можно сколь угодно точно аппроксимировать многочленами либо суммами синусов и косинусов. Слова "сколь угодно точно" здесь означают, что разность между данной функцией и функциями ее аппроксимирующими может быть сделана сколь угодно малой равномерно на всем интервале (если графики данной функции и аппроксимирующих функций начертить на бумаге, то при достаточно точной аппроксимации эти графики будут неотличимы). Теория функций занимается также изучением свойств функций, размерности области определения которых более единицы (функции нескольких переменных). Отсюда уже можно перейти к функциям, областями определения которых служат разного рода абстрактные пространства, и даже к функциям, значения которых также принадлежат многомерным пространствам (таковы, например, векторные поля в физике) или абстрактным пространствам. Таким образом, теория функций незаметно переходит, с одной стороны, в функциональный анализ, а с другой - в топологию.
МЕРА И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Теория меры и интегрирования является важным разделом общей теории математических функций, берущей начало с работ А. Лебега (1906) по теории интеграла. Этот раздел занимается изучением природы основных операций математического анализа. Одна из наиболее важных проблем, которая привела к развитию теории меры и интегрирования, возникла в связи с рядами Фурье. За сто или более лет до Лебега было известно, что тригонометрическим многочленом, дающим наилучшее среднеквадратичное приближение к данной функции, является ряд, порождаемый коэффициентами Фурье данной функции. Иначе говоря, при заданном k,
принимает минимальное значение, если коэффициенты определяются по формулам Фурье:
Однако поскольку определение интеграла было сформулировано в 19 в., вскоре стало ясно, что ряды из синусов и косинусов могут сходиться к функциям, настолько разрывным, что они не интегрируемы; и в этом случае понятие среднеквадратичной аппроксимации становится совершенно бессмысленным. Поэтому потребовалось новое определение интеграла, допускающего более широкий класс интегрируемых функций. В частности, хотелось по возможности расширить понятие предела последовательности интегрируемых функций, зная при этом, что предельная функция также будет интегрируема. (См. также РЯДЫ.)
Теория Лебега. Предложенное в 19 в. определение интеграла в общих чертах сводилось к следующему. Разобьем интервал от a до b точками xi, так, что a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Пусть Yi - наименьшая верхняя грань всех значений функции f(x) для xi - 1 Ј x Ј xi, а yi - наибольшая нижняя грань всех таких значений. Образуем верхнюю и нижнюю суммы:
Если эти верхние и нижние суммы имеют общий предел для любой последовательности разбиений, когда расстояние между точками разбиения стремится к нулю, то функция f(x) называется интегрируемой, а этот общий предел - ее интегралом и обозначается
Если f(x) слишком разрывна, то Yi и yi остаются существенно различными для слишком многих интервалов, и тогда верхние и нижние суммы не стремятся к общему пределу. В определении Лебега эта трудность устраняется раз и навсегда тем, что разбивается не область определения функции, а область ее значений, т.е. если c Ј f(x) Ј d при a Ј x Ј b, то точки разбиения выбираются таким образом, чтобы c = y0 < y1 < y2 < ... < yn = d. Пусть Ei при каждом i будет множеством точек x, таких, что yi - 1 Ј f(x) ... yi. В общем случае множество Ei будет не интервалом, а некоторым сложно устроенным множеством. Лебег усовершенствовал обобщение понятия длины таким образом, чтобы его можно было применять к множествам Ei в очень широком классе случаев. Эта обобщенная длина получила название меры множества Ei и стала обозначаться m(Ei). Верхняя и нижняя суммы Лебега имеют вид
Когда максимальная из разностей yi - yi - 1 стремится к нулю, эти суммы автоматически стремятся к общему пределу; следовательно f(x) - функция, интегрируемая в смысле Лебега, если только при любом разбиении области ее значений понятие меры применимо к возникающим множествам Ei. (См. также МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.) Множества, к которым применимо понятие меры, называются измеримыми, а функция, для которой любое разбиение области значений порождает разбиение ее области определения на измеримые множества, называется измеримой функцией. Одна из основных теорем в теории Лебега утверждает, что каждая ограниченная измеримая функция интегрируема на конечном интервале. С помощью подходящего предельного перехода интеграл в смысле Лебега распространяется на неограниченные функции и на бесконечные интервалы. Определим меру Лебега. Пусть E - множество, принадлежащее интервалу от a до b. Последовательность интервалов I1, I2, I3, ј, таких, что каждая точка из E принадлежит некоторым интервалам In, называется покрытием множества E. Для каждого покрытия множества E открытыми интервалами вычислим сумму их длин; наибольшая нижняя грань всех таких сумм называется "внешней мерой" множества E и обозначается m*(E). Внутренняя мера множества E обозначается m*(E) и определяется как m*(E) = b - a - m*C(E), где C(E) - множество всех точек, заключенных между a и b, не принадлежащих E. Множество E измеримо, если его внешняя и внутренняя меры равны; если это так, то m(E) - общее значение m*(E) и m*(E). Не все функции измеримы, но класс таких функций все же достаточно обширен, поскольку включает в себя все непрерывные функции, а также все поточечные пределы последовательностей измеримых функций. Последнее очень важно, так как если измеримость переносится на предельную функцию, то в этом случае она переносится и на интегрируемость, и появляется надежда решить проблему рядов Фурье.
Основные предельные теоремы. Теория Лебега отвечает одной из основных потребностей, связанных с предельным переходом, - она обеспечивает сохранение интегрируемости при операции сходимости в среднем квадратичном; под этим понимается следующее: если f1(x), f2(x), f3(x), ... - последовательность функций, каждая из которых интегрируема по Лебегу (в смысле Лебега) на измеримом множестве E, и если
то на E существует интегрируемая функция f(x), такая, что
Аналогичная теорема существует и относительно сходимости в среднем квадратичном, т.е. о сходимости к нулю интеграла от [[fm(x) - fn(x)]]2. Отсюда берет начало теорема Рисса - Фишера (1907), дающая ответ на вопрос относительно рядов Фурье, о котором говорилось в начале этой статьи. Именно, если ряд
сходится, то существует функция f(x), квадрат которой интегрируем в смысле Лебега, и такая, что
Значение теории Лебега состоит в том, что она требует выполнения весьма слабых условий для среднеквадратичной сходимости интеграла Лебега. Последовательность функций сходится по мере, если при любом заданном e > 0 мера множества, на котором |fm(x) - fn(x)| і e, стремится к нулю при m -> беск. и n -> беск.. Классическая теорема, также принадлежащая Лебегу, утверждает, что если последовательность измеримых функций f1(x), f2(x), f3(x), ... сходится по мере на измеримом множестве E и если существует интегрируемая функция g(x), такая, что |fn(x)| =< g(x) при всех n, то существует интегрируемая функция f(x), такая, что
Подводя итог, можно сказать, что сходимость по мере вместе с равномерным мажорированием интегрируемой функцией влечет за собой сходимость в среднем. Со времен Лебега условие равномерного мажорирования удалось заменить более слабым условием. Предположим, что для каждой стягивающейся последовательности E1, E2, E3, ... измеримых множеств из E, не имеющих ни одной общей для всех точки, равномерно по n выполняется соотношение
Тогда из сходимости по мере следует сходимость в среднем на E.
Аксиоматический подход. Мера Лебега первоначально была определена для множеств на действительной прямой и привела к теории интегрирования по таким множествам. Применительно к более общим множествам ее основные положения и результаты приводят к абстрактной теории интегрирования, в свою очередь имеющей многочисленные реализации и приложения. Исходным пунктом одной из таких абстрактных теорий стало аксиоматическое задание внешней меры, предложенное К.Каратеодори (1873-1950). Рассмотрим абстрактное пространство S. Предположим, что величина m*(A) определена для любого подмножества A из S. Эта функция множества m* называется "внешней мерой", если она удовлетворяет следующим условиям: 1) m*(f) = 0, если f - пустое множество; 2) m*(A) Ј m*(B), если A содержится в B; 3)
если E1, E2, E3, ... - любая последовательность множеств, покрывающих множество E. Внешняя мера Лебега (описанная выше) обладает этими свойствами, причем оказывается, что для нее эти свойства являются определяющими. Если задана любая m*, удовлетворяющая этим условиям, то измеримость множеств определяется утверждением, что E измеримо, если для любого множества A выполняется соотношение m*(A) = m*(A З E) + m*(A - E). Здесь A З E (пересечение A и E) означает множество точек, принадлежащих одновременно A и E; а A - E - множество точек, принадлежащих A, но не принадлежащих E. Интуитивно измеримое множество воспринимается как "хорошее", и определение Каратеодори говорит о том, что множество E измеримо, если не существует такого множества А, которое бы разделяло Е на две части, внутреннюю и внешнюю, так, что их внешние меры складываются "неправильно". Предложенное Лебегом определение измеримости, использующее внутреннюю меру, - частный случай условия Каратеодори, в котором A = S. Из-за некоторых специальных свойств внешней меры Лебега это условие оказывается достаточным для модели Лебега, но в общем случае требуется проверять измеримость более детально. Ключевая теорема в теории Каратеодори утверждает, что любая внешняя мера, удовлетворяющая введенным аксиомам, при ограничении только на измеримые множества обладает всеми свойствами, которыми должна обладать мера. Самое важное из этих свойств называется полной аддитивностью. Мера m называется вполне аддитивной, если для любой последовательности E1, E2, E3, ... измеримых множеств, никакие два из которых не имеют общей точки,
(Символ в скобках в левой части равенства означает объединение множеств En, т.е. множество точек, принадлежащих по крайней мере одному из множеств En.) Если дана любая вполне аддитивная мера, то затем можно, более или менее следуя Лебегу, определить интеграл, удовлетворяющий основным предельным теоремам, приведенным ранее в этой статье; следуя теории Каратеодори, можно для этих же целей исходить из внешней меры.
Построение внешних мер. Существует совершенно стандартная процедура построения примеров внешних мер. Задача заключается в следующем: внешняя мера должна быть определена на всех множествах в пространстве, а простой формулы для таких функций обычно не существует. Приходится выбирать гораздо более узкий класс относительно простых множеств, задавать на них конкретную функцию и, пользуясь ею, порождать внешнюю меру. В большинстве случаев не удается представить наглядно ничего, кроме первоначальной функции на основном классе простых множеств; однако можно доказать, что такая функция действительно порождает внешнюю меру, а значит, и меру, и, следовательно, интеграл. Метод построения внешних мер в точности повторяет тот, которым пользовался Лебег и который был описан в нашей статье выше. Суть его сводится к следующему. Пусть t - функция, определенная на некотором классе множеств. Если E1, E2, E3, ... - последовательность множеств, на которых определена t, и если эта последовательность множеств покрывает множество A, то образуем сумму
Тогда m*(A) - по определению наибольшая нижняя грань всех сумм, получаемых указанным способом. В случае меры Лебега в качестве простых множеств используются открытые интервалы, и функция t, о которой говорилось выше, является длиной; т.е. выбрав для любого открытого интервала t в качестве t (I) его длину и проделав процедуру, описанную в предыдущем абзаце, мы получим внешнюю меру Лебега. Более общая конструкция состоит в следующем. Минимальный набор требований сводится к тому, чтобы каждое множество можно было покрыть последовательностью множеств, на которых определена t, и чтобы сама функция t всюду была неотрицательна и обращалась в нуль на пустом множестве. Если эти условия выполняются для t, то можно доказать, что описанный метод порождает внешнюю меру. Но если на t наложены только перечисленные выше минимальные условия, то относительно получающейся внешней меры можно извлечь не слишком много информации. Например, нельзя с уверенностью утверждать, что базовые множества, на которых определена t, окажутся измеримыми, а также, что для такого множества t (E) = m*(E). С другой стороны, если удостовериться, что t обладает более тонкой структурой, то относительно внешней меры появляется дополнительная информация. В различных вариантах абстрактной теории меры на функцию, используемую для построения внешней меры, накладываются различные условия. Обычно используются следующие. Предположим, что t определена на кольце множеств (семействе множеств, замкнутом относительно операций взятия разности и конечного объединения). Если t определена на кольце и вполне аддитивна, то множества в кольце оказываются измеримыми, а мера, которая при этом получается, обладает всеми свойствами функции t на кольце.
Дифференцирование. Один из фундаментальных фактов математического анализа состоит в том, что дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные процедуры. Возникает вопрос, переносится ли этот факт на рассматриваемые нами более общие теории интегрирования и дифференцирования. Кратко можно сказать, что для интеграла, построенного с помощью меры Лебега на действительной прямой, существует достаточно хорошая теория дифференцирования, но для любой более общей модели необходимы дополнительные уточнения. Важно отметить, что даже для интегралов, порожденных теорией плоской меры Лебега (меры, построенной по функции t, определяющей площадь прямоугольников на плоскости), теория дифференцирования становится более тонкой. При обсуждении вопросов дифференцирования, связанных с теорией меры, существует формальное видоизменение обычного дифференцирования, основанное на том, что интегралы рассматриваются как функции множества, а не как функции точки. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы одну функцию множества a, возможно, интеграл, продифференцировать по другой функции множества - мере m. Определение производной принимает форму
Не вдаваясь в детали, можно сказать, что I (r) x означает здесь, что множество I стягивается в точку x. Основная трудность связана именно с точной интерпретацией этой идеи. Проверим ее разными способами. Пусть f(x) - функция, интегрируемая по Лебегу на части действительной прямой, и пусть a(E) определена для каждого измеримого множества E из области определения функции f формулой
Определим теперь дифференцирование функции a следующим образом. Выберем в качестве множеств I замкнутые интервалы. Возьмем, далее, произвольные стягивающиеся последовательности этих интервалов, имеющих общей точкой лишь точку x, интерпретируя этот процесс как I (r) x. При этих условиях можно доказать, что a'(x) существует и равна f(x) всюду, за исключением, может быть, тех точек множества, мера которых равна нулю. Математики используют в подобных случаях терминологический оборот, говоря, что "a' = f почти всюду". Нестрого можно утверждать, что "если имеется интегрируемая функция, то дифференцирование интеграла позволяет почти всюду восстановить подынтегральную функцию". Но можно поступить и иначе. Ключевые свойства интеграла как функции множества заключаются в том, что он вполне аддитивен и абсолютно непрерывен, т.е. обращается в нуль на множествах меры нуль. Если m - мера Лебега на действительной прямой, дифференцирование определено относительно произвольной последовательности стягивающихся замкнутых интервалов, а функция a вполне аддитивна и абсолютно непрерывна, то a' существует почти всюду, и для каждого измеримого множества E
На плоскости ситуация сложнее. Чтобы доказать, что интеграл почти всюду дифференцируем и его производная равна подынтегральной функции, необходимо ограничить определение производной. Используя стягивающиеся в точку прямоугольники, необходимо наложить два ограничения: стороны прямоугольников всегда должны быть параллельны координатным осям, и при стягивании отношение длины и ширины должно оставаться неизменным или по крайней мере одного и того же порядка. При таких ограничениях интеграл почти всюду дифференцируем, производная его совпадает с подынтегральной функцией, но этот результат утрачивает силу, если допустить наклонные прямоугольники или когда отношение сторон меняется при стягивании прямоугольников в точку. Если абсолютно непрерывная, вполне аддитивная функция задается на плоских множествах, то необходимо дополнительно потребовать, чтобы ее значение на любом измеримом множестве было сколь угодно точно аппроксимируемо ее значением на накрывающем открытом множестве. Тогда функция дифференцируема в ограниченном выше смысле почти всюду и равна интегралу от своей производной. Если потребовать, чтобы длина и ширина прямоугольников, используемых в определении производной, были величинами одного и того же порядка, то можно воспользоваться теоремой, согласно которой интеграл почти всюду имеет производную, равную подынтегральной функции. Но все рушится, если отказаться от требования ограниченности. Утверждение теоремы становится неверным в топологическом смысле для большинства неограниченных подынтегральных функций. Наконец, существует весьма абстрактная теорема Радона - Никодима (1930), согласно которой, если функция a определена на классе измеримых множеств и всюду конечна, вполне аддитивна и абсолютно непрерывна, то существует функция точки f, такая, что для каждого измеримого множества E функция a(E) является интегралом от f по E. Функцию f поэтому можно рассматривать как абстрактную производную от a, однако ни формулировка теоремы Радона - Никодима, ни ее доказательство не дают оснований для интерпретации этой абстрактной производной как предела отношения. Производная в данном случае определяется единственным способом - как решение некоторого интегрального уравнения. Иначе говоря, абстрактная производная от a есть функция f, такая, что для любого измеримого множества E
Интеграл Даниеля. Другой подход к определению интеграла был предложен П. Даниелем в 1917. С тех пор и этот
подход стал предметом многочисленных обобщений. Основная идея Даниеля состоит в формальном определении интеграла
в терминах его свойств как функции подынтегрального выражения. Ключевыми являются такие свойства как линейность (
