1. Основа фамилии - отчество от именования Киляк из кила - "грыжа", киляк - "больной грыжей" (на других территориях - килун и др.).
2. Однако не исключено происхождение прозвища от приведенного у В.И.Даля глагола килиться, имевшего разные значения: "медлить, отставать" (псков., сибир.), "упрашивать, жалобиться" (арханг.). (Н)