Солодуха - тесто с солодом. Вероятно, как и Опара, прозвище полного, тучного человека. (Ф) Или же жена (вдова_ человека по имени Солод. Такие имена тоже были.
В старину солодкий - сладкий, вкусный, солодка могло быть ласковым детским прозвищем желанного, красивого ребенка. Как сейчас говорят "сладеньки ты мой".
А также солодить - сплетьничать, и киснуть от жары, расслабляться пск. Есть ище и несколько растений на солод-. Так что могут быть и другие варинаты.
СОЛОДКО́ВЫЙ, солодковая, солодковое (бот.). прил. к солодка. Солодковый корень (то же, что лакрица в 1 знач.).
Толковый словарь Ожегова
СОЛО́ДКА, -и, ж. Травянистое влаголюбивое растение, сладкий корень к-рого употр. в медицине, в пищевой и химической промышленности, в технике, лакричник.