Все словари русского языка: Толковый словарь, Словарь синонимов, Словарь антонимов, Энциклопедический словарь, Академический словарь, Словарь существительных, Поговорки, Словарь русского арго, Орфографический словарь, Словарь ударений, Трудности произношения и ударения, Формы слов, Синонимы, Тезаурус русской деловой лексики, Морфемно-орфографический словарь, Этимология, Этимологический словарь, Грамматический словарь, Идеография, Пословицы и поговорки, Этимологический словарь русского языка.

математик

Толковый словарь

м.

1. Специалист в области математики.

2. разг.

Учитель математики.

МАТЕМА́ТИК - сущ., м., употр. сравн. часто

Морфология: (нет) кого? матема́тика, кому? матема́тику, (вижу) кого? матема́тика, кем? матема́тиком, о ком? о матема́тике; мн. кто? матема́тики, (нет) кого? матема́тиков, кому? матема́тикам, (вижу) кого? матема́тиков, кем? матема́тиками, о ком? о матема́тиках

Математик - это специалист, который занимается изучением чисел, количественных отношений и пространственных форм.

Мы учились у знаменитого математика.

Толковый словарь Ушакова

МАТЕМА́ТИК, математика, муж.

1. Ученый, специалист по математике. Профессор-математик. Знаменитый математик Софья Ковалевская.

2. Преподаватель математики (разг.).

|| Студент математического факультета.

Толковый словарь Ожегова

МАТЕМА́ТИК, -а, муж. Специалист по математике.

Словарь существительных

МАТЕМА́ТИК, -а, м

Специалист по математике.

Штирлиц беседовал с математиками и физиками, особенно после того, как гестапо арестовало физика Рунге, занимавшегося атомной проблемой (Ю. Сем.).

Энциклопедический словарь

МАТЕМА́ТИК -а; м. Специалист по математике.

Академический словарь

-а, м.

Специалист по математике.

Орфографический словарь

матема́тик, -а

Формы слов для слова математик

матема́тик, матема́тики, матема́тика, матема́тиков, матема́тику, матема́тикам, матема́тиком, матема́тиками, матема́тике, матема́тиках

Синонимы к слову математик

Идиоматика

великий математик

выдающийся математик

крупный математик

Морфемно-орфографический словарь

матема́т/ик/.

Грамматический словарь

матема́тик мо 3a

Словарь иностранных слов

МАТЕМАТИК (греч. mathemathikos). Занимающийся математикою, сведущий в этой науке.

Сканворды для слова математик

- Машина, перерабатывающая кофе в теоремы.

- Извлекает корни.

- Самый «озадаченный» учитель.

- Специалист по цифрам.

- Ферма по профессии.

- Каждый из тех, кому не суждено получить Нобелевскую премию.

- Льюис Кэрролл как учёный.

Полезные сервисы

математик-академик

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тик-акаде/мик, матема/тика-акаде/мика

Полезные сервисы

математик-прикладник

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тик-прикладни/к, матема/тика-прикладника/

Орфографический словарь

матема́тик-прикладни́к, матема́тика-прикладника́

Синонимы к слову математик-прикладник

сущ., кол-во синонимов: 1

Полезные сервисы

математик-программист

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тик-программи/ст, матема/тика-программи/ста

Полезные сервисы

математика

Толковый словарь

ж.

1. Научная дисциплина о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира.

отт. Учебный предмет, содержащий теоретические основы данной научной дисциплины.

отт. разг. Учебник, излагающий содержание данного учебного предмета.

2. перен. разг.

Точный, простой расчёт.

МАТЕМА́ТИКА - сущ., ж., употр. сравн. часто

Морфология: (нет) чего? матема́тики, чему? матема́тике, (вижу) что? матема́тику, чем? матема́тикой, о чём? о матема́тике

1. Математика - это наука, которая изучает числа, количественные отношения и пространственные формы.

Высшая математика. | Прикладная математика. | У него явные способности к математике.

2. Математика - это учебный предмет, который изучает эту науку.

Экзамен по математике. | Преподавать математику. | Он получил двойку по математике.

3. Математикой в разговорной речи называют точный расчёт, продуманные действия, которые требуются для чего-либо.

Она давно постигла математику семейной жизни.

математи́ческий прил.

Математические вычисления. | Математический факультет.

математи́чески нар.

Толковый словарь Ушакова

МАТЕМА́ТИКА, математики, мн. нет, жен. (греч. mathematike). Цикл наук, изучающих величины и пространственные формы (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и т.д.). Чистая математика. Прикладная математика. Высшая математика.

Толковый словарь Ожегова

МАТЕМА́ТИКА, -и, жен. Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы. Высшая м. Прикладная м.

| прил. математический, -ая, -ое. Математическая задача. М. ум. (перен.: точный, ясный).

Толковый словарь Даля

МАТЕМАТИКА - жен. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. - чистая, занимается величинами отвлеченно; - прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая располагает цифрами, вторая протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика (включающая в себе и алгебру) добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа. Прикладная математика, по предмету зовется: механикою, оптикою, геодезиею и пр. Математический, -тичный, к науке этой относящийся. Доказать что математически, цифрами, счислением, бесспорно, как дважды два. -тичность жен. свойство всего, что подлежит математике, цифры и величины. Математик муж. сведущий в науке этой.

Словарь существительных

МАТЕМА́ТИКА, -и, ж

Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы действительного мира.

Математика - основа теоретической физики.

Энциклопедический словарь

МАТЕМА́ТИКА -и; ж. [греч. mathēmatikē]

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая м. Элементарная м. Прикладная м. Законы математики. // Учебный предмет, изучающий эту науку. Экзамен по математике. Преподавать математику. // Разг. Учебник по этому предмету.

2. Разг. О чём-л., требующем точного расчёта, продуманных действий и т.п. Поднять урожай не просто, тут требуется м. М. высшего пилотажа.

Математи́ческий, -ая, -ое. М-ая формула. М. факультет. М. расчёт. М-ая точность. М-ое объяснение поступка. Математи́чески, нареч.

* * *

матема́тика (греч. mathēmatikē, от máthēma - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До начала XVII в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объёмы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приёмов математического анализа. Областью применения математики являлись счёт, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В XVII и XVIII вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В XVIII в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В XIX-XX вв. Математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная и неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, теория вероятностей, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в XIX-XX вв. численные методы математики вырастают в самостоятельная её ветвь - вычислительная математика. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоёмких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математика, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

* * *

МАТЕМАТИКА - МАТЕМА́ТИКА (греч. mathematike, от mathema - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

Большой энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКА (греч. mathematike - от mathema - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. Потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т.

д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

Академический словарь

-и, ж.

Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Высшая математика. Элементарная математика.

[греч. μαθηματική]

Энциклопедия Кольера

Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные конкретные интерпретации; например, соотношение 2 + 3 = 4 + 1 соответствует утверждению, что две и три книги составляют столько же книг, сколько четыре и одна. Любое соотношение типа 2 + 3 = 4 + 1, т.е. отношение между чисто математическими объектами без ссылки на какую бы то ни было интерпретацию из физического мира, называется абстрактным. Абстрактный характер математики позволяет использовать ее при решении самых разных проблем. Например, алгебра, рассматривающая операции над числами, позволяет решать задачи, выходящие за рамки арифметики. Более конкретным разделом математики является геометрия, основная задача которой - изучение размеров и форм объектов. Сочетание алгебраических методов с геометрическими приводит, с одной стороны, к тригонометрии (первоначально посвященной изучению геометрических треугольников, а теперь охватывающей значительно больший круг вопросов), а с другой стороны - к аналитической геометрии, в которой геометрические тела и фигуры исследуются алгебраическими методами. Существуют несколько разделов высшей алгебры и геометрии, обладающих более высокой степенью абстракции и не занимающихся изучением обычных чисел и обычных геометрических фигур; самая абстрактная из геометрических дисциплин называется топологией.

Математический анализ занимается изучением величин, изменяющихся в пространстве или во времени, и опирается на два основных понятия - функцию и предел, которые не встречаются в более элементарных разделах математики. Первоначально математический анализ состоял из дифференциального и интегрального исчислений, но теперь включает в себя и другие разделы. Различают две основные области математики - чистую математику, в которой акцент делается на дедуктивные рассуждения, и прикладную математику. Термин "прикладная математика" иногда относят к тем ветвям математики, которые созданы специально для того, чтобы удовлетворить запросы и требования науки, а иногда - к тем разделам различных наук (физики, экономики и т.п.), которые используют математику как средство решения своих задач.

Многие распространенные заблуждения в отношении математики возникают в результате смешения этих двух толкований "прикладной математики". Арифметика может служить примером прикладной математики в первом смысле, а бухгалтерский учет - во втором. Вопреки широко распространенному мнению, математика продолжает быстро развиваться. Журнал "Математическое обозрение" ("Mathematical Review") публикует ежегодно ок. 8000 кратких резюме статей, содержащих последние результаты - новые математические факты, новые доказательства старых фактов и даже сведения о совершенно новых областях математики. Существующая ныне тенденция в математическом образовании заключается в стремлении познакомить учащихся с современными, более абстрактными математическими идеями на более ранних стадиях преподавания математики.

См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ.

Математика - один из краеугольных камней цивилизации, однако очень немногие люди имеют представление о современном состоянии дел в этой науке. Математика за последние сто лет претерпела огромные изменения, касающиеся как предмета, так и методов исследования. В данной статье мы попытаемся дать общее представление об основных этапах эволюции современной математики, главными результатами которой можно считать, с одной стороны, увеличение разрыва между чистой и прикладной математикой, а с другой - полное переосмысление традиционных областей математики.

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Рождение математики. Около 2000 до н.э. было замечено, что в треугольнике со сторонами в 3, 4 и 5 единиц длины один из углов равен 90° (это наблюдение позволяло легко строить прямой угол для практических надобностей). Заметили ли тогда соотношение 52 = 32 + 42? Относительно этого мы не располагаем никакими сведениями. Через несколько веков было открыто общее правило: в любом треугольнике ABC с прямым углом при вершине A и сторонами b = АС и c = AB, между которыми заключен этот угол, и противолежащей ему стороной a = BC справедливо соотношение a2 = b2 + c2. Можно сказать, что наука начинается тогда, когда масса отдельных наблюдений объясняется одним общим законом; следовательно, открытие "теоремы Пифагора" можно рассматривать как один из первых известных примеров подлинно научного достижения.

Но еще более важное значение для науки вообще и для математики в частности имеет то, что наряду с формулировкой общего закона появляются попытки его доказать, т.е. показать, что он с необходимостью следует из других геометрических свойств. Одно из восточных "доказательств" особенно наглядно в своей простоте: четыре треугольника, равные данному, вписаны в квадрат BCDE так, как показано на чертеже. Площадь квадрата a2 оказывается разделенной на четыре равных треугольника общей площадью 2bc и квадрат AFGH площадью (b - c)2. Таким образом, a2 = (b - c)2 + 2bc = (b2 + c2 - 2bc) + 2bc = b2 + c2. Поучительно сделать еще один шаг и выяснить точнее, какие "предыдущие" свойства предполагаются известными. Наиболее очевидный факт заключается в том, что, поскольку треугольники BAC и BEF точно, без пробелов и наложения, "подогнаны" вдоль сторон BA и BF, это означает, что два угла при вершинах B и С в треугольнике ABС составляют вместе угол в 90° и поэтому сумма всех трех его углов равна 90° + 90° = 180°. В приведенном выше "доказательстве" используется также формула (bc/2) для площади треугольника ABC с углом в 90° при вершине A. Фактически были использованы и другие допущения, но и сказанного достаточно, чтобы мы могли наглядно увидеть существенный механизм математического доказательства - дедуктивное рассуждение, позволяющее с помощью чисто логических аргументов (на основе надлежащим образом подготовленного материала, в нашем примере - разбиения квадрата) вывести из известных результатов новые свойства, как правило, не следующие непосредственно из имеющихся данных.

Рис. 1.

Рис. 1.

Аксиомы и методы доказательства. Одной из фундаментальных особенностей математического метода является процесс создания с помощью тщательно выстроенных чисто логических аргументов цепочки утверждений, в которой каждое последующее звено соединено с предыдущими. Первое достаточно очевидное соображение состоит в том, что в любой цепочке должно быть первое звено. Это обстоятельство стало очевидно грекам, когда они приступили к систематизации свода математических аргументов в 7 в. до н.э. Для осуществления этого замысла грекам понадобилось ок. 200 лет, и сохранившиеся документы позволяют составить лишь примерное представление о том, как именно они действовали. Точной информацией мы располагаем лишь об окончательном результате исследований - знаменитых Началах Евклида (ок. 300 до н.э.). Евклид начинает с перечисления исходных положений, из которых все остальные выводятся чисто логическим путем. Эти положения называются аксиомами или постулатами (термины практически взаимозаменяемые); они выражают либо весьма общие и несколько расплывчатые свойства объектов любого рода, например "целое больше части", либо какие-то конкретные математические свойства, например, что для любых двух точек существует единственная соединяющая их прямая. У нас нет никакой информации и о том, придавали ли греки некий более глубокий смысл или значимость "истинности" аксиом, хотя существуют кое-какие намеки, что, прежде чем принять те или иные аксиомы, греки некоторое время их обсуждали. У Евклида и его последователей аксиомы представлены лишь как исходные пункты для построения математики без всяких комментариев об их природе. Что касается методов доказательства, то они, как правило, сводились к прямому использованию ранее доказанных теорем. Иногда, правда, логика рассуждений оказывалась более сложной. Мы упомянем здесь излюбленный метод Евклида, вошедший в повседневную практику математики, - косвенное доказательство, или доказательство от противного. В качестве элементарного примера доказательства от противного покажем, что шахматную доску, из которой вырезаны два угловых поля, расположенных на противоположных концах диагонали, невозможно покрыть костями домино, каждая из которых равна двум полям. (Предполагается, что каждое поле шахматной доски должно быть покрыто только один раз.) Предположим, что верно противоположное ("противное") утверждение, т.е. что доску можно покрыть костями домино. Каждая кость покрывает одно черное и одно белое поле, поэтому независимо от расположения костей домино они покрывают равное число черных и белых полей. Однако из-за того, что два угловых поля удалены, шахматная доска (на которой первоначально было столько же черных полей, сколько белых) имеет полей одного цвета на два больше, чем полей другого цвета. Это означает, что наше исходное предположение не может быть истинным, так как приводит к противоречию. А поскольку противоречащие друг другу суждения не могут быть ложными одновременно (если одно из них ложно, то противоположное истинно), наше исходное предположение должно быть истинным, ибо противоречащее ему предположение ложно; следовательно, шахматную доску с двумя вырезанными угловыми полями, расположенными по диагонали, невозможно покрыть костями домино. Итак, чтобы доказать некоторое утверждение, мы можем предположить, что оно ложно, и вывести из этого предположения противоречие с каким-нибудь другим утверждением, истинность которого известна. Прекрасный пример доказательства от противного, ставший одной из вех в развитии древнегреческой математики, - доказательство того, что - не рациональное число, т.е. непредставимо в виде дроби p/q, где p и q - целые числа. Если , то 2 = p2/q2, откуда p2 = 2q2. Предположим, что существуют два целых числа p и q, для которых p2 = 2q2. Иначе говоря, мы предполагаем, что существует целое число, квадрат которого вдвое больше квадрата другого целого числа. Если какие-нибудь целые числа удовлетворяют этому условию, то одно из них должно быть меньше всех других. Сосредоточим внимание на наименьшем из таких чисел. Пусть это будет число p. Так как 2q2 - четное число и p2 = 2q2, то число p2 должно быть четным. Так как квадраты всех нечетных чисел нечетны, а квадрат p2 четен, значит само число p должно быть четным. Иначе говоря, число p вдвое больше некоторого целого числа r. Так как p = 2r и p2 = 2q2, имеем: (2r)2 = 4r2 = 2q2 и q2 = 2r2. Последнее равенство имеет тот же вид, что и равенство p2 = 2q2, и мы можем, повторяя те же рассуждения, показать, что число q четно и что существует такое целое число s, что q = 2s. Но тогда q2 = (2s)2 = 4s2, и, поскольку q2 = 2r2, мы заключаем, что 4s2 = 2r2 или r2 = 2s2. Так мы получаем второе целое число, которое удовлетворяет условию, что его квадрат вдвое больше квадрата другого целого числа. Но тогда p не может быть наименьшим таким числом (поскольку r = p/2), хотя первоначально мы предполагали, что оно - наименьшее из таких чисел. Следовательно, наше исходное предположение ложно, так как приводит к противоречию, и поэтому не существует таких целых чисел p и q, для которых p2 = 2q2 (т.е. таких, что ). А это означает, что число не может быть рациональным. От Евклида до начала 19 в. На протяжении этого периода математика существенно преобразилась в результате трех новаций. (1) В процессе развития алгебры был изобретен способ символической записи, позволявший представлять в сокращенном виде все более сложные соотношения между величинами. В качестве примера тех неудобств, которые возникли бы, не будь такой "скорописи", попробуем передать словами соотношение (a + b)2 = a2 + 2ab + b2: "Площадь квадрата со стороной, равной сумме сторон двух данных квадратов, равна сумме их площадей вместе с удвоенной площадью прямоугольника, стороны которого равны сторонам данных квадратов". (2) Создание в первой половине 17 в. аналитической геометрии, давшей возможность любую задачу классической геометрии свести к некоторой алгебраической задаче. (3) Создание и развитие в период с 1600 по 1800 исчисления бесконечно малых, позволявшего легко и систематически решать сотни задач, связанных с понятиями предела и непрерывности, лишь очень немногие из которых были решены древнегреческими математиками. Более подробно эти ветви математики рассматриваются в статьях

АЛГЕБРА;

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ;

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ;

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР. Начиная с 17 в. постепенно проясняется вопрос, который до тех пор оставался неразрешимым. Что такое математика? До 1800 ответ был достаточно простым. В то время четких границ между различными науками не существовало, математика была частью "натуральной философии" - систематического изучения природы методами, предложенными великими реформаторами эпохи Возрождения и начала 17 в. - Галилеем (1564-1642), Ф.Бэконом (1561-1626) и Р.Декартом (1596-1650). Считалось, что у математиков имеется своя собственная область исследования - числа и геометрические объекты и что математики не пользуются экспериментальным методом. Однако Ньютон и его последователи изучали механику и астрономию с помощью аксиоматического метода по аналогии с тем, как была изложена геометрия у Евклида. В более общем плане было признано, что любая наука, в которой результаты эксперимента представимы с помощью чисел или систем чисел, становится областью приложения математики (в физике это представление утвердилось лишь в 19 в.). Области экспериментальной науки, которые подверглись математической обработке, часто называют "прикладной математикой"; это очень неудачное название, так как ни по классическим, ни по современным стандартам в этих приложениях не существует (в строгом смысле) подлинно математических аргументов, поскольку в них предметом исследования являются нематематические объекты. После того как данные эксперимента переведены на язык чисел или уравнений (такой "перевод" зачастую требует большой находчивости со стороны "прикладного" математика), появляется возможность широкого применения математических теорем; затем результат подвергается обратному переводу и сравнивается с наблюдениями. То, что к процессу такого рода применяется термин "математика", служит одним из источников нескончаемых недоразумений. В "классические" времена, о которых сейчас идет речь, такого рода недоразумений не существовало, поскольку одни и те же люди являлись и "прикладными", и "чистыми" математиками, занимаясь одновременно и проблемами математического анализа или теории чисел, и проблемами динамики или оптики. Однако усилившаяся специализация и тенденция к обособлению "чистой" и "прикладной" математик значительно ослабили ранее существовавшую традицию универсальности, и ученые, которые, подобно Дж.фон Нейману (1903-1957), были способны вести активную научную деятельность как в прикладной, так и в чистой математике, стали скорее исключением, чем правилом. Какова природа математических объектов - чисел, точек, линий, углов, поверхностей и т.д., существование которых мы считали чем-то само собою разумеющимся? Что означает применительно к таким объектам понятие "истина"? На эти вопросы в классический период были даны вполне определенные ответы. Разумеется, ученые той эпохи отчетливо понимали, что в мире наших ощущений нет таких вещей, как "бесконечно протяженная прямая" или "не имеющая размеров точка" Евклида, как нет "чистых металлов", "монохроматического света", "теплоизолированных систем" и т.д., которыми оперируют в своих рассуждениях экспериментаторы. Все эти понятия - "платоновские идеи", т.е. своего рода порождающие модели эмпирических понятий, хотя и радикально иного характера. Тем не менее молчаливо предполагалось, что физические "образы" идей могут быть сколь угодно близки к самим идеям. В той мере, в какой вообще можно что-либо утверждать относительно близости объектов к идеям, говорят, что "идеи" являются, так сказать, "предельными случаями" физических объектов. С этой точки зрения, аксиомы Евклида и выводимые из них теоремы выражают свойства "идеальных" объектов, которым должны соответствовать предсказуемые экспериментальные факты. Например, измерение оптическими методами углов треугольника, образованного тремя точками в пространстве, в "идеальном случае" должно дать сумму, равную 180°. Иначе говоря, аксиомы поставлены на один уровень с физическими законами, и поэтому их "истинность" воспринимается так же, как истинность физических законов; т.е. логические следствия из аксиом подлежат проверке путем сравнения с экспериментальными данными. Разумеется, согласие можно достичь лишь в пределах ошибки, связанной и с "несовершенным" характером измерительного прибора, и "несовершенной природой" измеряемого объекта. Однако всегда предполагается, что если законы "истинны", то усовершенствования процессов измерения в принципе позволяют сделать ошибку измерения сколь угодно малой. На протяжении 18 в. находилось все больше подтверждений того, что все следствия, полученные из основных аксиом, в особенности в астрономии и механике, согласуются с данными экспериментов. А поскольку эти следствия получались с использованием существовавшего в то время математического аппарата, достигнутые успехи способствовали укреплению мнения об истинности аксиом Евклида, которая, как говорил Платон, "ясна каждому" и не подлежит обсуждению.

Сомнения и новые надежды. Неевклидова геометрия. Среди постулатов, приведенных Евклидом, один был настолько неочевиден, что даже первые ученики великого математика считали его слабым местом в системе Начал. Аксиома, о которой идет речь, утверждает, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Большинство геометров считали, что аксиому о параллельных можно доказать с помощью других аксиом и что Евклид сформулировал утверждение о параллельных как постулат просто потому, что ему не удалось придумать такое доказательство. Но, хотя лучшие математики пытались разрешить проблему параллельных, никому из них не удалось превзойти Евклида. Наконец, во второй половине 18 в. были предприняты попытки доказать постулат Евклида о параллельных от противного. Предположили, что аксиома о параллельных ложна. Априори постулат Евклида мог оказаться ложным в двух случаях: если через точку вне данной прямой невозможно провести ни одной параллельной; или если через нее можно провести несколько параллельных. Оказалось, что первая априорная возможность исключается другими аксиомами. Приняв вместо традиционной аксиомы о параллельных новую аксиому (о том, что через точку вне данной прямой можно провести несколько прямых, параллельных данной), математики пытались вывести из нее утверждение, противоречащее другим аксиомам, но потерпели неудачу: сколько они ни пытались извлекать следствий из новой "антиевклидовой", или "неевклидовой" аксиомы, противоречие так и не появилось. Наконец, независимо друг от друга Н.И.Лобачевский (1793-1856) и Я. Бойяи (1802-1860) поняли, что постулат Евклида о параллельных недоказуем, или, иначе говоря, в "неевклидовой геометрии" противоречие не появится. С появлением неевклидовой геометрии сразу же возникло несколько философских проблем. Поскольку претензия на априорную необходимость аксиом отпала, оставался единственный способ проверки их "истинности" - экспериментальный. Но, как позднее заметил А. Пуанкаре (1854-1912), в описании любого явления скрыто такое множество физических допущений, что ни один эксперимент не может дать убедительного доказательства истинности или ложности математической аксиомы. Кроме того, даже если допустить, что наш мир является "неевклидовым", следует ли из этого, что вся евклидова геометрия ложна? Насколько известно, ни один математик никогда не рассматривал такую гипотезу всерьез. Интуиция подсказывала, что и евклидова и неевклидова геометрии являются примерами полноценной математики.

Математические "монстры". Неожиданно к таким же выводам пришли совершенно с другой стороны - были открыты объекты, повергшие математиков 19 в. в шок и получившие название "математических монстров". Это открытие имеет непосредственное отношение к весьма тонким вопросам математического анализа, возникшим лишь в середине 19 в. Трудности возникли при попытке найти точный математический аналог экспериментальному понятию кривой. То, что было сутью понятия "непрерывного движения" (например, острия чертежного пера, движущегося по листу бумаги), подлежало точному математическому определению, и эта цель была достигнута, когда понятие непрерывности обрело строгий математический смысл (см. также КРИВАЯ) . Интуитивно казалось, что "кривая" в каждой своей точке имеет как бы направление, т.е. в общем случае в окрестности каждой своей точки кривая ведет себя почти так же, как прямая. (С другой стороны, нетрудно представить, что кривая имеет конечное число угловых точек, "изломов", как многоугольник.) Это требование могло быть сформулировано математически, а именно, предполагалось существование касательной к кривой, и до середины 19 в. считалось, что "кривая" имеет касательную почти во всех своих точках, быть может, за исключением некоторых "особых" точек. Поэтому открытие "кривых", не имевших касательной в любой своей точке, вызвало настоящий скандал

(см. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ).

(Читатель, знакомый с тригонометрией и аналитической геометрией, может легко проверить, что кривая, задаваемая уравнением y = x sin (1/x) , не имеет касательной в начале координат, но определить кривую, не имеющую касательной ни в одной своей точке, значительно сложнее.) Несколько позднее был получен куда более "патологический" результат: удалось построить пример кривой, которая полностью заполняет квадрат. С тех пор были изобретены сотни таких "монстров", противоречивших "здравому смыслу". Следует подчеркнуть, что существование столь необычных математических объектов следует из основных аксиом столь же строго и логически безупречно, как существование треугольника или эллипса. Поскольку математические "монстры" не могут соответствовать никакому экспериментальному объекту, и единственное возможное заключение состоит в том, что мир математических "идей" гораздо богаче и необычнее, чем можно было ожидать, и лишь очень немногие из них имеют соответствия в мире наших ощущений. Но если математические "монстры" логически следуют из аксиом, то можно ли по-прежнему считать аксиомы истинными?

Новые объекты. Приведенные выше результаты получили подтверждение еще с одной стороны: в математике, главным образом в алгебре, один за другим стали возникать новые математические объекты, представлявшие собой обобщения понятия числа. Обычные целые числа достаточно "интуитивны", и придти к экспериментальному понятию дроби совсем не трудно (хотя нельзя не признать, что операция деления единицы на несколько равных частей и выбор нескольких из них по своей природе отличаются от процесса счета). После того как выяснилось, что число непредставимо в виде дроби, греки были вынуждены рассматривать иррациональные числа, корректное определение которых с помощью бесконечной последовательности приближений рациональными числами принадлежит к наивысшим достижениям человеческого разума, но вряд ли соответствует чему-нибудь реальному в нашем физическом мире (где любое измерение неизменно сопряжено с ошибками). Тем не менее введение иррациональных чисел происходило более или менее в духе "идеализации" физических понятий. А что сказать об отрицательных числах, которые медленно, встречая большое сопротивление, стали входить в научный обиход в связи с развитием алгебры? Со всей определенностью можно утверждать, что не было никаких готовых физических объектов, отправляясь от которых мы с помощью процесса прямой абстракции могли бы выработать понятие отрицательного числа, и в преподавания элементарного курса алгебры приходится вводить множество вспомогательных и достаточно сложных примеров (ориентированные отрезки, температуры, долги и т.д.), чтобы пояснить, что такое отрицательные числа. Такое положение очень далеко от понятия, "ясного каждому", как того требовал Платон от идей, лежащих в основе математики, и нередко приходится встречать выпускников колледжей, для которых все еще остается загадкой правило знаков (-a)(-b) = ab. См. также ЧИСЛО. Еще хуже обстоит дело с "мнимыми", или "комплексными" числами, поскольку в них входит "число" i, такое, что i2 = -1, что является явным нарушением правила знаков. Тем не менее математики с конца 16 в. не колеблясь производят вычисления с комплексными числами, как если бы они "имели смысл", хотя 200 лет назад не могли дать определения этих "объектов" или интерпретировать их с помощью какой-либо вспомогательной конструкции, как, например, были интерпретированы с помощью направленных отрезков отрицательные числа. (После 1800 было предложено несколько интерпретаций комплексных чисел, самая известная - с помощью векторов на плоскости.)

Современная аксиоматика. Переворот произошел во второй половине 19 в. И хотя он не сопровождался принятием официальных заявлений, в действительности речь шла именно о провозглашении своего рода "декларации независимости". Конкретнее - о провозглашении де факто декларации независимости математики от внешнего мира. С этой точки зрения, математические "объекты", если вообще имеет смысл говорить об их "существовании", - чистое порождение разума, и имеют ли они какие-нибудь "соответствия" и допускают ли какую-нибудь "интерпретацию" в физическом мире, для математики несущественно (хотя сам по себе этот вопрос интересен). "Истинные" утверждения о таких "объектах" - все те же логические следствия из аксиом. Но теперь аксиомы следует рассматривать как совершенно произвольные, и поэтому отпадает необходимость в их "очевидности" или выводимости из повседневного опыта посредством "идеализации". На практике полная свобода ограничена разного рода соображениями. Разумеется, "классические" объекты и их аксиомы остаются без изменений, но теперь их нельзя считать единственными объектами и аксиомами математики, и в повседневную практику вошла привычка выбрасывать или переделывать аксиомы так, чтобы была возможность использовать их различными способами, как это было сделано при переходе от евклидовой геометрии к неевклидовой. (Именно таким образом были получены многочисленные варианты "неевклидовых" геометрий, отличных от евклидовой геометрии и от геометрии Лобачевского - Бойяи; например, имеются неевклидовы геометрии, в которых не существует параллельных прямых.) Хотелось бы особенно подчеркнуть одно обстоятельство, следующее из нового подхода к математическим "объектам": все доказательства должны опираться исключительно на аксиомы. Если мы вспомним об определении математического доказательства, то подобное высказывание может показаться повтором. Однако это правило редко соблюдалось в классической математике из-за "интуитивной" природы ее объектов или аксиом. Даже в Началах Евклида, при всей их кажущейся "строгости", многие аксиомы не формулируются явно и многие свойства либо молчаливо предполагаются, либо вводятся без достаточного обоснования. Чтобы поставить евклидову геометрию на прочную основу, понадобился критический пересмотр самих ее начал. Вряд ли стоит говорить о том, что педантичный контроль за мельчайшими деталями доказательства является следствием появления "монстров", научивших современных математиков соблюдать крайнюю осторожность в выводах. Самое безобидное и "самоочевидное" утверждение о классических объектах, например утверждение о том, что кривая, соединяющая точки, расположенные по разные стороны от прямой, непременно пересекает эту прямую, в современной математике требует строгого формального доказательства. Возможно, покажется парадоксальным утверждение, что именно из-за своей приверженности аксиомам современная математика служит наглядным примером того, какой должна быть любая наука. Тем не менее такой подход иллюстрирует характерную особенность одного из наиболее фундаментальных процессов научного мышления - получения точной информации в ситуации неполного знания. Научное исследование некоторого класса объектов предполагает, что особенности, позволяющие отличать одни объекты от других, умышленно предаются забвению, а сохраняются лишь общие черты рассматриваемых объектов. То, что выделяет математику из общего ряда наук, заключается в неукоснительном следовании этой программе во всех ее пунктах. Считается, что математические объекты полностью определены аксиомами, используемыми в теории этих объектов; или, по словам Пуанкаре, аксиомы служат "замаскированными определениями" тех объектов, к которым они относятся.

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

Хотя теоретически возможно существование любых аксиом, до настоящего времени было предложено и исследовано лишь небольшое число аксиом. Обычно в ходе развития одной или нескольких теорий замечают, что какие-то схемы доказательства повторяются в более или менее аналогичных условиях. После того как свойства, используемые в общих схемах доказательств, обнаружены, их формулируют в виде аксиом, а следствия из них выстраивают в общую теорию, не имеющую прямого отношения к тем конкретным контекстам, из которых были абстрагированы аксиомы. Получаемые при этом общие теоремы применимы к любой математической ситуации, в которой существуют системы объектов, удовлетворяющие соответствующим аксиомам. Повторяемость одних и тех же схем доказательства в различных математических ситуациях свидетельствует о том, что мы имеем дело с различными конкретизациями одной и той же общей теории. Это означает, что после соответствующей интерпретации аксиомы этой теории в каждой ситуации становятся теоремами. Любое свойство, выводимое из аксиом, будет справедливо во всех этих ситуациях, но необходимость в отдельном доказательстве для каждого случая отпадает. В таких случаях говорят, что математические ситуации обладают одной и той же математической "структурой". Мы пользуемся представлением о структуре на каждом шагу в нашей повседневной жизни. Если термометр показывает 10° С и бюро прогнозов предсказывает повышение температуры на 5° С, мы без всяких вычислений ожидаем температуру в 15° С. Если книга открыта на 10-й странице и нас просят заглянуть на 5 страниц дальше, мы не колеблясь открываем ее на 15-й странице, не отсчитывая промежуточных страниц. В обоих случаях мы полагаем, что сложение чисел дает правильный результат независимо от их интерпретации - в виде температуры или номеров страниц. Нам нет нужды учить одну арифметику для термометров, а другую - для номеров страниц (хотя мы пользуемся особой арифметикой, имея дело с часами, в которой 8 + 5 = 1, так как часы обладают другой структурой, чем страницы книги). Интересующие математиков структуры отличаются несколько более высокой сложностью, в чем нетрудно убедиться на примерах, разбору которых посвящены два следующих раздела данной статьи. В одном из них речь пойдет о теории групп и математических понятиях структур и изоморфизмов.

Теория групп. Чтобы лучше понять процесс, обрисованный выше в общих чертах, возьмем на себя смелость заглянуть в лабораторию современного математика и присмотреться к одному из его основных инструментов - теории групп

(см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ).

Группой называется набор (или "множество") объектов G, на котором определена операция, ставящая в соответствие любым двум объектам или элементам a, b из G, взятым в указанном порядке (первым - элемент a, вторым - элемент b), третий элемент c из G по строго определенному правилу. Для краткости обозначим этот элемент a*b; звездочка (*) означает операцию композиции двух элементов. Эта операция, которую мы назовем групповым умножением, должна удовлетворять следующим условиям: (1) для любых трех элементов a, b, c из G выполняется свойство ассоциативности: a* (b*c) = (a*b) *c; (2) в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G имеет место соотношение e*a = a*e = a; этот элемент e называется единичным или нейтральным элементом группы; (3) для любого элемента a из G найдется такой элемент a', называемый обратным или симметричным к элементу a, что a*a' = a'*a = e. Если эти свойства принять за аксиомы, то логические следствия из них (независимые от каких-либо других аксиом или теорем) в совокупности образуют то, что принято называть теорией групп. Вывести раз и навсегда эти следствия оказалось очень полезно, поскольку группы широко применяются во всех разделах математики. Из тысяч возможных примеров групп выберем лишь несколько наиболее простых. (а) Дроби p/q, где p и q - произвольные целые числа і1 (при q = 1 мы получаем обыкновенные целые числа). Дроби p/q образуют группу относительно группового умножения (p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Свойства (1), (2), (3) следуют из аксиом арифметики. Действительно, [[(p/q) *(r/s)]] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[[(r/s)*(t/u)]]. Единичным элементом служит число 1 = 1/1, так как (1/1)*(p/q) = (1*p)/(1*q) = p/q. Наконец, элементом, обратным к дроби p/q, является дробь q/p, так как (p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Рассмотрим в качестве G набор из четырех целых чисел 0, 1, 2, 3, а в качестве a*b - остаток от деления a + b на 4. Результаты таким образом введенной операции представлены в табл. 1 (элемент a*b стоит на пересечении строки a и столбца b). Нетрудно проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит число 0.

Таблица 1.

Таблица 1.

(с) Выберем в качестве G набор чисел 1, 2, 3, 4, а в качестве a*b - остаток от деления ab (обычного произведения) на 5. В результате получим табл. 2. Легко проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит 1.

Таблица 2.

Таблица 2.

(d) Четыре объекта, например четыре числа 1, 2, 3, 4, можно расположить в ряд 24 способами. Каждое расположение можно наглядно представить как преобразование, переводящее "естественное" расположение в заданное; например, расположение 4, 1, 2, 3 получается в результате преобразования S: 1 -> 4, 2 -> 1, 3 -> 2, 4 -> 3,

которое можно записать в более удобном виде

МАТЕМАТИКА

Для любых двух таких преобразований S, T мы определим S*T как преобразование, которое получится в результате

последовательного выполнения Т, а затем S.

Например, если

Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА

, то

Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА

При таком определении все 24 возможных преобразования образуют группу; ее единичным элементом служит

Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА

, а элемент, обратный к S, получается при замене стрелок в определении S на противоположные;

например, если

Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА

, то

Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА

Нетрудно заметить, что в первых трех примерах a*b = b*a; в таких случаях говорят, что группа или групповое умножение

коммутативны. С другой стороны, в последнем примере

Энциклопедия Кольера МАТЕМАТИКА

, и, следовательно, T*S отличается от S*T.

Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят,

среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов.

Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым

числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на

циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р,

а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.

Структуры и изоморфизм. Предыдущие примеры показывают, сколь разнообразной может быть природа объектов, образующих группу. Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу

Иллюстрированный энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКА (от греческого mathema - знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 - 5 вв. до нашей эры. Математика объединяет комплекс дисциплин: арифметика (теория чисел), алгебра, геометрия, математический анализ (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и многое другое. Математика характеризуется: а) высокой степенью абстрактности ее понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т.п.); б) высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.п.). Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.

Афоризмы

Наука * История * Математика * Медицина * Открытие * Прогресс * Техника * Философия * Химия

Математика

Математика - самая надежная форма пророчества. -

Швебель.

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. -

Кант Иммануил (Kant)

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. -

Сантаяна Джордж (Santayana)

Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. -

Пуанкаре Жюль (Poincare)

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. -

Гете (Goethe)

Математика - единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. -

Эйнштейн Альберт (Einstein).

Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. -

Вейерштрасс Карл (Weierstrass)

В математике ум исключительно занят собственными формами познавания - временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом. -

Шопенгауэр (Schopenhauer)

Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия есть качество величайшей ценности. -

Ленин. Владимир Ильич Ульянов.

Гильберт, Хильберт Давид (Hilbert) спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения."

МАТЕМАТИКА

Между духом и материей посредничает математика.

Хуго Штейнхаус

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.

Джордж Сантаяна

Он стал поэтом - для математика у него не хватало фантазии.

Давид Гильберт об одном из своих учеников

Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.

Бертран Рассел

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.

Хуго Штейнхаус

В математике нет символов для неясных мыслей.

Анри Пуанкаре

Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее и поэтому знаем, что она должна быть достоверной.

Некий профессор математики об одной из теорем Л. Эйлера

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.

Альберт Эйнштейн

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.

Славомир Врублевский

Арифметику невозможно понять, в нее приходится верить.

Мария Кунцевич

Аксиома - это истина, на которую не хватило доказательств.

В. Хмурый

«Если... то...» - если это не математика, то это шантаж.

Хенрик Ягодзиньский

Значение синуса в военное время может достигать

четырех.

Армейский фольклор

Любая формула, включенная в книгу, уменьшает число ее покупателей вдвое.

Стивен Хокинг

Орфографический словарь

матема́тика, -и

Формы слов для слова математика

матема́тика, матема́тики, матема́тик, матема́тике, матема́тикам, матема́тику, матема́тикой, матема́тикою, матема́тиками, матема́тиках

Синонимы к слову математика

Морфемно-орфографический словарь

матема́т/ик/а.

Грамматический словарь

матема́тика ж 3a

Глагольная сочетаемость

заниматься математикой => действие, непрямой объект

преподавать математику => каузация, знание

Этимологический словарь

Французское - mathematique.

Немецкое - Mathematik.

Греческое - mathematike (познающий, математический).

Термин «математика» используется в русском языке с конца XVII в. Слово пришло из западноевропейских языков, хотя первоосновой является греческое слово, обозначающее «познающий».

Математика - это «наука, которая изучает величины, их количественные отношения, а также пространственные формы».

Производные: математический, математик.

Заимств. в начале XVIII в. из лат. яз., где mathematica < греч. mathematikē (technē) «математическое (искусство)», суф. производного от mathema «наука о величинах, знание, учение», возможно, того же корня, что мудрый.

матема́тика

Через польск. matematyka или лат. mathematica (ars) из греч. μαθηματική.

Словарь иностранных слов

МАТЕМАТИКА (греч.). Наука о величинах, вообще о том, что можно выразить цифрами.

Сканворды для слова математика

- Доказательство самых очевидных вещей наименее очевидным способом.

- Наука, пригодившаяся покупателям.

- «Вышка» в программе Политеха.

- В какой науке силён папа у Васи в известной песне?

- Преподаватель этой науки разрешил лицеисту Пушкину писать на его уроках стихи, понимая, что толку всё равно не добьёшься.

- Наука о величинах, количественных отношениях, пространственных формах.

- Представитель этой науки отбил у Нобеля невесту, и поэтому за успехи в ней Нобелевской премии не дают.

- Именно этот предмет преподавала в школе «дорогая Елена Сергеевна» в исполнении Марины Нееловой.

- Наука задач и уравнений.

- Американец Джон Нэш - единственный обладатель и Нобелевской премии, полученной по экономике, и Абелевской, присуждаемой в этой области науки.

- По мнению Галилея, вся философия написана в огромной книге, но на языке этой точной науки.

- Премия имени Джона Филдса вручается молодым учёным - представителям этой науки.

Полезные сервисы

математика прикладная

Словарь иностранных слов

Применение чистой математики к особенным целям, к какому-нибудь реальному делу, к предметам.

Полезные сервисы

математика чистая

Словарь иностранных слов

МАТЕМАТИКА ЧИСТАЯ - занимается величинами отвлеченными.

Полезные сервисы

математики институт

Энциклопедический словарь

Матема́тики институ́т (ИМ) СО РАН, основан в 1957 в Новосибирске. Разработка проблем современной математики и её приложений.

Полезные сервисы

математики институт (им) сибирского отделения ран

Энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ (ИМ) СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН - МАТЕМА́ТИКИ ИНСТИТУ́Т (ИМ) СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН, основан в 1957 в Новосибирске. Разработка проблем современной математики и ее приложений.

Полезные сервисы

математики институт сибирского отделения ран

Большой энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ (ИМ) СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН - основан в 1957 в Новосибирске. Разработка проблем современной математики и ее приложений.

Полезные сервисы

математики история

Энциклопедия Кольера

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н. э. благодаря вавилонянам и египтянам.

ВАВИЛОНИЯ И ЕГИПЕТ

Вавилония. Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии. Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел начиная с 60 и больше вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60. Существенным продвижением стал позиционный принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Примером могут служить значения шестерки в записи (современной) числа 606. Однако нуль в системе счисления древних вавилонян отсутствовал, из-за чего один и тот же набор символов мог означать и число 65 (60 + 5), и число 3605 (602 + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовке дробей. Например, одни и те же символы могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/602). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста. Вавилоняне составили таблицы обратных чисел (которые использовались при выполнении деления), таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов и кубических корней. Им было известно хорошее приближение числа "корень из 2". Клинописные тексты, посвященные решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли решать некоторые специальные типы задач, включавших до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвертой степени. На глиняных табличках запечатлены только задачи и основные шаги процедур их решения. Так как для обозначения неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основном заключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались в словесных обозначениях. Около 700 до н. э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии. В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность - прямой. Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число p вавилоняне считали равным 3.

Египет. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду - ок. 3500 до н.э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты. Но главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне. Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло так называемое иератическое письмо-скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались в виде суммы дробей с числителем, равным единице. С такими дробями египтяне производили все четыре арифметические операции, но процедура таких вычислений оставалась очень громоздкой. Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида. Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил. Хотя майя, жившие в Центральной Америке, не оказали влияния на развитие математики, их достижения, относящиеся примерно к 4 в., заслуживают внимания. Майя, по-видимому, первыми использовали специальный символ для обозначения нуля в своей двадцатиричной системе. У них были две системы счисления: в одной применялись иероглифы, а в другой, более распространенной, точка обозначала единицу, горизонтальная черта - число 5, а символ обозначал нуль. Позиционные обозначения начинались с числа 20, а числа записывались по вертикали сверху вниз..

ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА

Классическая Греция. С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического периода (6-4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия. Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику - теоретический аспект и логистику - вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам. Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6-3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои - 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч

(см. также ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ). Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640-546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно. Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585-500 до н. э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550-300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур ("фигурные числа"). Слово "калькуляция" (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего "камешек". Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. - квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n2 - квадратное число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 - дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей). Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей. Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Рассматривая прямоугольный треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина его гипотенузы равна , и это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин - "иррациональные числа". Около 300 до н.э. Евклид доказал, что число несоизмеримо. Пифагорейцы имели дело с иррациональными числами, представляя все величины геометрическими образами. Если 1 и считать длинами некоторых отрезков, то различие между рациональными и иррациональными числами сглаживается. Произведение чисел и есть площадь прямоугольника со сторонами длиной и .Мы и сегодня иногда говорим о числе 25 как о квадрате 5, а о числе 27 - как о кубе 3. Древние греки решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй. Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до1600. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово "геометр" было равнозначно слову "математик". Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизированно изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках. Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427-347 до н. э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название "доказательство от противного". Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений. Величайшим из греческих математиков классического периода, уступавшим по значимости полученных результатов только Архимеду, был Евдокс (ок. 408-355 до н.э.). Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами. Работы Евдокса позволили установить дедуктивную структуру математики на основе явно формулируемых аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического анализа, поскольку именно он изобрел метод вычисления площадей и объемов, получивший название "метода исчерпывания". Этот метод состоит в построении вписанных и описанных плоских фигур или пространственных тел, которые заполняют ("исчерпывают") площадь или объем той фигуры или того тела, которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая теория, объясняющая наблюдаемое движение планет. Предложенная Евдоксом теория была чисто математической; она показывала, каким образом комбинации вращающихся сфер с различными радиусами и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярными движения Солнца, Луны и планет. Около 300 до н. э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как "целое больше любой из частей". И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений. Аполлоний (ок. 262-200 до н.э.) жил в александрийский период, но его основной труд выдержан в духе классических традиций. Предложенный им анализ конических сечений - окружности, эллипса, параболы и гиперболы - явился кульминацией развития греческой геометрии. Аполлоний также стал основателем количественной математической астрономии.

Александрийский период. В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой математики изменился. Александрийская математика возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики - Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп - продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач. Эратосфен (ок. 275-194 до н.э.) нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Астроном Аристарх (ок. 310-230 до н.э.) написал сочинение О размерах и расстояниях Солнца и Луны, содержавшее одну из первых попыток определения этих размеров и расстояний; по своему характеру работа Аристарха была геометрической. Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа p находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед решил эту задачу, отыскав пересечение параболы и равнобочной гиперболы. Архимед был величайшим математическим физиком древности. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения. Его сочинение О плавающих телах заложило основы гидростатики. Согласно легенде, Архимед открыл носящий его имя закон, согласно которому на тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости, во время купания, находясь в ванной, и не в силах совладать с охватившей его радостью открытия, выбежал обнаженный на улицу с криком: "Эврика!" ("Открыл!") Во времена Архимеда уже не ограничивались геометрическими построениями, осуществимыми только с помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в своих построениях спираль, а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил проблему удвоения куба с помощью введенной им кривой, получившей название циссоиды. В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные представления о математической строгости. Живший между 100 до н.э. и 100 н.э. Герон Александрийский трансформировал значительную часть геометрической алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные процедуры. Однако, доказывая новые теоремы евклидовой геометрии, он по-прежнему руководствовался стандартами логической строгости классического периода. Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью Начал Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства. Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он имел дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их буквенными обозначениями. Он заложил основы т.н. диофантова анализа - исследования неопределенных уравнений. Высшим достижением александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарху (ок. 161-126 до н. э.) мы обязаны изобретением тригонометрии. Его метод был основан на теореме, утверждающей, что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответственных сторон другого. В частности, отношение длины катета, лежащего против острого угла А в прямоугольном треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол А. Это отношение известно как синус угла А. Отношения длин других сторон прямоугольного треугольника получили название косинуса и тангенса угла А. Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их таблицы. Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на поверхности Земли, он смог вычислить длину ее большой окружности и расстояние до Луны. По его расчетам, радиус Луны составил одну треть земного радиуса; по современным данным отношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с ошибкой всего лишь в 61/2 минуты; считается, что именно он ввел широты и долготы. Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика своего развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н.э.). В Альмагесте была представлена теория движения небесных тел, господствовавшая вплоть до 16 в., когда ее сменила теория Коперника. Птолемей стремился построить самую простую математическую модель, сознавая, что его теория - всего лишь удобное математическое описание астрономических явлений, согласованное с наблюдениями. Теория Коперника одержала верх именно потому, что как модель она оказалась проще.

Упадок Греции. После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок. Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римляне не мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике, извлекая из них реальную пользу. Однако в развитие самой математики вклад римлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел. Главной ее особенностью был аддитивный принцип. Даже вычитательный принцип, например, запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое употребление только после изобретения наборных литер в 15 в. Римские обозначения чисел применялись в некоторых европейских школах примерно до 1600, а в бухгалтерии и столетием позже.

ИНДИЯ И АРАБЫ

Преемниками греков в истории математики стали индийцы. Индийские математики не занимались доказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных методов. Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное число, и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде. Махавира (850 н.э.) установил правила операций с нулем, полагая, однако, что деление числа на нуль оставляет число неизменным. Правильный ответ для случая деления числа на нуль был дан Бхаскарой (р. в 1114), ему же принадлежат правила действий над иррациональными числами. Индийцы ввели понятие отрицательных чисел (для обозначения долгов). Самое раннее их использование мы находим у Брахмагупты (ок. 630). Ариабхата (р. 476) пошел дальше Диофанта в использовании непрерывных дробей при решении неопределенных уравнений. Наша современная система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисел и нуля как кардинального числа и использовании обозначения пустого разряда, называется индо-арабской. На стене храма, построенного в Индии ок. 250 до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим очертаниям наши современные цифры. Около 800 индийская математика достигла Багдада. Термин "алгебра" происходит от начала названия книги Аль-джебр ва-л-мукабала (Восполнение и противопоставление), написанной в 830 астрономом и математиком аль-Хорезми. В своем сочинении он воздавал должное заслугам индийской математики. Алгебра аль-Хорезми была основана на трудах Брахмагупты, но в ней явственно различимы вавилонское и греческое влияния. Другой выдающийся арабский математик Ибн аль-Хайсам (ок. 965-1039) разработал способ получения алгебраических решений квадратных и кубических уравнений. Арабские математики, в их числе и Омар Хайям, умели решать некоторые кубические уравнения с помощью геометрических методов, используя конические сечения. Арабские астрономы ввели в тригонометрию понятие тангенса и котангенса. Насирэддин Туси (1201-1274) в Трактате о полном четырехугольнике систематически изложил плоскую и сферическую геометрии и первым рассмотрел тригонометрию отдельно от астрономии. И все же самым важным вкладом арабов в математику стали их переводы и комментарии к великим творениям греков. Европа познакомилась с этими работами после завоевания арабами Северной Африки и Испании, а позднее труды греков были переведены на латынь.

СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗРОЖДЕНИЕ

Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400-1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками. Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков. Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.

Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472) ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель - Ж. Дезарг (1593-1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.

НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б. Паскаль (1623-1662) и И. Барроу (1630-1677), учитель И. Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р. Декарт (1596-1650) и Дж. Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом "мнимыми". Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением. Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н. Тарталья (1499-1577), С. Даль Ферро (1465-1526), Л. Феррари (1522-1565) и Д. Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, -, *, , =, > и

Полезные сервисы

математико-

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тико- первая часть сложных прилагательных, пишется через дефис

Полезные сервисы

математико-аналитический

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тико-аналити/ческий

Полезные сервисы

математико-астрономический

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тико-астрономи/ческий

Полезные сервисы

математико-геометрический

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тико-геометри/ческий

Полезные сервисы

математико-механический

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тико-механи/ческий

Полезные сервисы

математико-статистический

Орфографический словарь

матема́тико-статисти́ческий

Синонимы к слову математико-статистический

прил., кол-во синонимов: 1

Морфемно-орфографический словарь

матема́т/ик/о/-статист/и́ческ/ий.

Полезные сервисы

математико-технический

Слитно. Раздельно. Через дефис

матема/тико-техни/ческий

Полезные сервисы

математико-физический

Синонимы к слову математико-физический

прил., кол-во синонимов: 1

Полезные сервисы

математико-финансовый

Синонимы к слову математико-финансовый

прил., кол-во синонимов: 1

Полезные сервисы

математикой

Глагольная сочетаемость

заниматься математикой => действие, непрямой объект

Полезные сервисы

математику

Глагольная сочетаемость

преподавать математику => каузация, знание

Полезные сервисы