МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ (греч.). Часть землеописания, имеющая своим предметом положение земли относительно других небесных тел.

Составить слова из слова математическая география

▲ задача

↑ математический

задача на построение. | доказательство.

решение задачи - необходимый вариант элемента; определение необходимого неявного

(матем. # задачи. единственное # уравнения. найти #).

решение уравнения. | решение треугольников.

↓ занимательные игры

Составить слова из слова математическая задача

Математи́ческая картогра́фия - изучает теорию картографических проекций и способы применения их на практике.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ - МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ КАРТОГРА́ФИЯ, изучает теорию картографических проекций (см. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ) и способы применения их на практике.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ - изучает теорию картографических проекций и способы применения их на практике.

Составить слова из слова математическая картография

Математи́ческая ло́гика - дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ ЛО́ГИКА, дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика - дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике.

сущ., кол-во синонимов: 1

Составить слова из слова математическая логика

математика - наука о количественных зависимостях.

арифметика - изучает свойства целых и рациональных чисел.

теория чисел.

геометрия.

планиметрия. стереометрия. топология. начертательная геометрия.

неэвклидова геометрия. гиперболическая геометрия. тригонометрия.

теория вероятностей. математическая статистика.

дискретная математика.

теория игр. исследование операций. теория множеств. теория графов.

теория алгоритмов. теория кодирования. теория цифровых автоматов.

вычислительная математика.

↓ число, алгебра, функция (математическая), статистика

см. наука, относительно, зависимость, количество

Составить слова из слова математическая наука

▲ операция

↑ математический

операции, у которых исходные операнды и результат имеют одинаковую размерность:

сложение, вычитание

операции, у которых операнды имеют неодинаковую размерность:

умножение, математическое деление

дифференцирование. интегрирование.

алгебраическая операция.

↓ ассоциативность.

операнд - объект операции.

на (разделить на пять).

алгебра

Составить слова из слова математическая операция

математическая статистика - использует статистико-математический аппарат для изучения лингвистических объектов.

Математи́ческая стати́стика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА - МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ СТАТИ́СТИКА, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Истоки математической статистики можно найти в сочинениях ученых конца 17 - начала 19 вв. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченных статистических материалов.

МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ СТАТИ́СТИКА

(от лат. status - состояние). Смежная для методики обучения языкам наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Законы М. с. широко используются в организации теоретических исследований по методике.

Составить слова из слова математическая статистика

Математи́ческая фи́зика - занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под названием «математическая физика» понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными уравнениями.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА - МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ ФИ́ЗИКА, занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под названием «математическая физика» понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными уравнениями.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА - занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под названием "математическая физика" понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными уравнениями.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физических явлений. Иногда под названием "математическая физика" понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике уравнениями.

Составить слова из слова математическая физика

нареч. качеств.-обстоят.

1. С точки зрения математики как научной дисциплины о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира.

2. В соответствии с законами и принципами математики.

математи́чески

нареч, кол-во синонимов: 7

ясно, точно

Точно, определенно.

Составить слова из слова математически

математически доказывать (иноск.) - с точностью (как бы математически - цифрами)

Ср. Попробуйте поговорить по душе с провинциальным любителем, и он математически докажет вам, что в данную минуту он один и выполняет просветительную миссию... путем повсеместного учреждения любительских подмостков.

В. Быстренин. По деревням ("Новости" 13 авг. 1898 г.).

См. как дважды два четыре.

См. миссия.

См. по душе поговорить.

Составить слова из слова математически доказывать

математи/чески обосно/ванный

Составить слова из слова математически обоснованный

математи/чески то/чный

Составить слова из слова математически точный

сущ., кол-во синонимов: 1

Составить слова из слова математические методы в биологии

▲ преобразование

↑ математический

группа преобразований.

группа подстановок. | проекция.

проективная группа. | проективная геометрия. проективная алгебра.

якобиан. | эволюта. эвольвента. эквидистанта.

инверсия.

трансцендентная функция

см. симметрия

Составить слова из слова математические преобразования

Способы исследования, использующие символическое обозначение, математический аппарат и количественные критерии, ориентированные на разграничение моделирования языка и моделирования речи, на изучение системы языка и порождения текста, с одной стороны, и на исследование текста и его анализ, с другой стороны. По существу это два типа моделирования, отличающиеся по характеру исследовательских операций:

1) в первом случае это дедуктивная методика, а именно: логико-математическое моделирование и исчисление, которое чаще всего бывает аксиоматическим и алгоритмическим;

2) во втором случае это индуктивная методика, т.е. интуитивно-математическое моделирование и исчисление вероятностно-статистического и теоретико-информационного характера. В первом случае опираются на модели-конструкты, во втором - на статистику речи.

Составить слова из слова математические приемы

прил.

1. соотн. с сущ. математика, связанный с ним

2. Свойственный математике, характерный для неё.

3. перен. разг.

Точный.

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ, математическая, математическое. прил. к математика. Математический метод. Математическое общество. Математический анализ. Математическая задача. Гипотеза, доказуемая математически (нареч.).

|| перен. Точный, ясный, как в математике. Математический ум. Математически (нареч.) точно.

МАТЕМА́ТИКА, -и, ж. Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы. Высшая м. Прикладная м.

-ая, -ое.

прил. к математика.

Математическая формула. Математический факультет.

|| перен.

Точный, как в математике.

Письмо это вдруг получило в глазах его [Ивана] смысл математический. Никаких сомнений в виновности Мити быть для него не могло уже более. Достоевский, Братья Карамазовы.

математи́ческий

математи́ческий, математи́ческая, математи́ческое, математи́ческие, математи́ческого, математи́ческой, математи́ческих, математи́ческому, математи́ческим, математи́ческую, математи́ческою, математи́ческими, математи́ческом, математи́ческ, математи́ческа, математи́ческо, математи́чески

прил., кол-во синонимов: 4

точный, ясный, символический, общематематический

▲ логический

↑ количественный

математический - логический количественный

(# аппарат теории).

математ/и́ч/еск/ий.

математи́ческий п 3a✕~

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ (греч.). Относящийся к математике.

Составить слова из слова математический

Математи́ческий ана́лиз - совокупность разделов математики, посвящённых исследованиям функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Термин является скорее педагогическим, чем научным: курсы математического анализа читаются в вузах и техникумах.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ, совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Термин является скорее педагогическим, чем научным: курсы математического анализа читаются в вузах и техникумах.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Термин является скорее педагогическим, чем научным: курсы математического анализа читаются в вузах и техникумах.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела. Начало математическому анализу положил в 1665 И. Ньютон и (около 1675) независимо от него Г. Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И. Кеплер (1571-1630), Ф. Кавальери (1598-1647), П. Ферма (1601-1665), Дж. Валлис (1616-1703) и И. Барроу (1630-1677). Чтобы сделать изложение более живым, мы будем прибегать к языку графиков. Поэтому читателю, возможно, будет полезно заглянуть в статью

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,

прежде чем приступать к чтению данной статьи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Касательные. На рис. 1 показан фрагмент кривой y = 2x - x2, заключенный между x = -1 и x = 3. Достаточно малые отрезки этой кривой выглядят прямыми. Иначе говоря, если Р - произвольная точка этой кривой, то существует некоторая прямая, проходящая через эту точку и являющаяся приближением кривой в малой окрестности точки Р, причем чем меньше окрестность, тем лучше приближение. Такая прямая называется касательной к кривой в точке Р. Основная задача дифференциального исчисления заключается в построении общего метода, позволяющего находить направление касательной в любой точке кривой, в которой касательная существует. Нетрудно представить себе кривую с резким изломом (рис. 2). Если Р - вершина такого излома, то можно построить аппроксимирующую прямую PT1 - справа от точки Р и другую аппроксимирующую прямую РТ2 - слева от точки Р. Но не существует единственной прямой, проходящей через точку Р, которая одинаково хорошо приближалась к кривой в окрестности точки P как справа, так и слева, следовательно касательной в точке P не существует.

1.">

Рис. 1.

Рис. 2.

На рис. 1 касательная ОТ проведена через начало координат О = (0,0). Угловой коэффициент этой прямой равен 2, т.е. при изменении абсциссы на 1 ордината увеличивается на 2. Если x и y - координаты произвольной точки на ОТ, то, удаляясь от О на расстояние х единиц вправо, мы удаляемся от О на 2y единиц вверх. Следовательно, y/x = 2, или y = 2x. Это уравнение касательной ОТ к кривой y = 2x - x2 в точке О. Необходимо теперь объяснить, почему из множества прямых, проходящих через точку О, выбрана именно прямая ОТ. Чем же прямая с угловым коэффициентом 2 отличается от других прямых? Существует один простой ответ, и нам трудно удержаться от искушения привести его, используя аналогию с касательной к окружности: касательная ОТ имеет с кривой только одну общую точку, тогда как любая другая невертикальная прямая, проходящая через точку О, пересекает кривую дважды. В этом можно убедиться следующим образом. Поскольку выражение y = 2x - x2 можно получить вычитанием х2 из y = 2x (уравнения прямой ОТ), то значения y для графика оказываются меньше знаний y для прямой во всех точках, за исключением точки x = 0. Следовательно, график всюду, кроме точки О, расположен ниже ОТ, и эта прямая и график имеют только одну общую точку. Кроме того, если y = mx - уравнение какой-нибудь другой прямой, проходящей через точку О, то обязательно найдутся две точки пересечения. Действительно, mx = 2x - x2 не только при x = 0, но и при x = 2 - m. И только при m = 2 обе точки пересечения совпадают. На рис. 3 показан случай, когда m меньше 2, поэтому справа от О возникает вторая точка пересечения.

Рис. 3.

То, что ОТ - единственная невертикальная прямая, проходящая через точку О и имеющая с графиком лишь одну общую точку, не самое главное ее свойство. Действительно, если мы обратимся к другим графикам, то вскоре выяснится, что отмеченное нами свойство касательной в общем случае не выполняется. Например, из рис. 4 видно, что вблизи точки (1,1) график кривой y = x3 хорошо аппроксимируется прямой РТ, имеющей однако, с ним более одной общей точки. Тем не менее, нам хотелось бы считать РТ касательной к этому графику в точке Р. Поэтому необходимо найти какой-то иной способ выделения касательной, чем тот, который так хорошо послужил нам в первом примере.

Рис. 4.

Предположим, что через точку О и произвольную точку Q = (h,k) на графике кривой y = 2x - x2 (рис. 5) проведена прямая (называемая секущей). Подставляя в уравнение кривой значения x = h и y = k, получаем, что k = 2h - h2, следовательно, угловой коэффициент секущей равен

Рис. 5.

При очень малых h значение m близко к 2. Более того, выбирая h достаточно близким к 0, мы можем сделать m сколь угодно близким к 2. Можно сказать, что m "стремится к пределу", равному 2, когда h стремится к нулю, или что предел m равен 2 при h, стремящемся к нулю. Символически это записывается так:

Тогда касательная к графику в точке О определяется как прямая, проходящая через точку О, с угловым коэффициентом, равным этому пределу. Такое определение касательной применимо в общем случае. Покажем преимущества этого подхода еще на одном примере: найдем угловой коэффициент касательной к графику кривой y = 2x - x2 в произвольной точке P = (x,y), не ограничиваясь простейшим случаем, когда P = (0,0). Пусть Q = (x + h, y + k) - вторая точка на графике, находящаяся на расстоянии h справа от Р (рис. 6). Требуется найти угловой коэффициент k/h секущей PQ. Точка Q находится на расстоянии

Рис. 6.

над осью х. Раскрывая скобки, находим:

Вычитая из этого уравнения y = 2x - x2, находим расстояние по вертикали от точки Р до точки Q:

Следовательно, угловой коэффициент m секущей PQ равен

Теперь, когда h стремится к нулю, m стремится к 2 - 2x; последнюю величину мы и примем за угловой коэффициент касательной PT. (Тот же результат получится, если h принимает отрицательные значения, что соответствует выбору точки Q слева от P.) Заметим, что при x = 0 полученный результат совпадает с предыдущим. Выражение 2 - 2x называется производной от 2x - x2. В старину производную также называли "дифференциальным отношением" и "дифференциальным коэффициентом". Если выражением 2x - x2 обозначить f(x), т.е.

то производную можно обозначить

Для того, чтобы узнать угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в какой-нибудь точке, необходимо подставить в f'(x) соответствующее этой точке значение х. Таким образом, угловой коэффициент f'(0) = 2 при х = 0, f'(0) = 0 при х = 1 и f'(2) = -2 при х = 2. Производную также обозначают у', dy/dx, Dхy и Dу. Тот факт, что кривая y = 2x - x2 вблизи данной точки практически неотличима от ее касательной в этой точке, позволяет говорить об угловом коэффициенте касательной как об "угловом коэффициенте кривой" в точке касания. Такие образом, мы можем утверждать, что угловой коэффициент рассматриваемой нами кривой имеет в точке (0,0) угловой коэффициент 2. Можно также сказать, что при x = 0 скорость изменения y относительно x равна 2. В точке (2,0) угловой коэффициент касательной (и кривой) равен -2. (Знак минус означает, что при возрастании x переменная y убывает.) В точке (1,1) касательная горизонтальна. Мы говорим, что кривая y = 2x - x2 имеет в этой точке стационарное значение.

Максимумы и минимумы. Мы только что показали, что кривая f(x) = 2x - x2 стационарна в точке (1,1). Так как f'(x) = 2 - 2x = 2(1 - x), ясно, что при x, меньших 1, f'(x) положительна, и, следовательно, y возрастает; при x, больших 1, f'(x) отрицательна, и поэтому y убывает. Таким образом, в окрестности точки (1,1), обозначенной на рис. 6 буквой М, значение у растет до точки М, стационарно в точке М и убывает после точки М. Такая точка называется "максимумом", поскольку значение у в этой точке превосходит любые его значения в достаточно малой ее окрестности. Аналогично, "минимум" определяется как точка, в окрестности которой все значения y превосходят значение у в самой этой точке. Может также случиться, что хотя производная от f (x) в некоторой точке и обращается в нуль, ее знак в окрестности этой точки не меняется. Такая точка, не являющаяся ни максимумом, ни минимумом, называется точкой перегиба. В качестве примера найдем стационарную точку кривой

Производная этой функции равна

и обращается в нуль при x = 0, х = 1 и х = -1; т.е. в точках (0,0), (1, -2/15) и (-1, 2/15). Если х чуть меньше -1, то f'(x) отрицательна; если х чуть больше -1, то f'(x) положительна. Следовательно, точка (-1, 2/15) - максимум. Аналогично, можно показать, что точка (1, -2/15) - минимум. Но производная f'(x) отрицательна как до точки (0,0), так и после нее. Следовательно, (0,0) - точка перегиба. Проведенное исследование формы кривой, а также то обстоятельство, что кривая пересекает ось х при f(x) = 0 (т.е. при х = 0 или

) позволяют представить ее график примерно так, как показано на рис. 7.

Рис. 7.

В общем, если исключить необычные случаи (кривые, содержащие прямолинейные отрезки или бесконечное число изгибов), существуют четыре варианта взаимного расположения кривой и касательной в окрестности точки касания Р. (См. рис. 8, на котором касательная имеет положительный угловой коэффициент.) 1) По обе стороны от точки Р кривая лежит выше касательной (рис. 8,а). В этом случае говорят, что кривая в точке Р выпукла вниз или вогнута.

Рис. 8.

2) По обе стороны от точки Р кривая расположена ниже касательной (рис. 8,б). В этом случае говорят, что кривая выпукла вверх или просто выпукла. 3) и 4) Кривая располагается выше касательной по одну сторону от точки Р и ниже - по другую. В этом случае Р - точка перегиба. Сравнивая значения f'(x) по обе стороны от Р с ее значением в точке Р, можно определить, с каким из этих четырех случаев приходится иметь дело в конкретной задаче.

Приложения. Все изложенное выше находит важные приложения в различных областях. Например, если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 200 футов в секунду, то высота s, на которой они будут находиться через t секунд по сравнению с начальной точкой составит

Действуя так же, как в рассмотренных нами примерах, находим

эта величина обращается в нуль при

Производная f'(x) положительна до значения

и отрицательна по истечении этого времени.

Следовательно, s возрастает до

, затем становится стационарной, а после убывает. Таково общее описание движения брошенного вверх тела.

Из него мы узнаем, когда тело достигает высшей точки. Далее, подставляя t = 25/4 в f (t),

мы получаем 625 футов, максимальную высоту подъема. В данной задаче f'(t) имеет физический смысл.

Эта производная показывает скорость, с которой тело движется в момент времени t.

Рассмотрим теперь приложение

другого типа (рис. 9). Из листа картона площадью 75 см2 требуется изготовить коробку с квадратным дном. Каковы

должны быть размеры этой коробки, чтобы она имела максимальный объем? Если х - сторона основания коробки и h - ее

высота, то объем коробки равен V = x2h, а площадь поверхности равна 75 = x2 + 4xh. Преобразуя уравнение,

получаем:

Рассмотрим теперь приложение другого типа (рис. 9). Из листа картона площадью 75 см2 требуется изготовить коробку

с квадратным дном. Каковы должны быть размеры этой коробки, чтобы она имела максимальный объем? Если х - сторона

основания коробки и h - ее высота, то объем коробки равен V = x2h, а площадь поверхности равна 75 = x2 + 4xh.

Преобразуя уравнение, получаем:

Рис. 9.

откуда

Производная от V оказывается равной

и обращается в нуль при х = 5. Тогда

и V = 125/2. График функции V = (75x - x3)/4 показан на рис. 10 (отрицательные значения х опущены как не имеющие физического смысла в данной задаче).

Рис. 10.

Производные. Важная задача дифференциального исчисления - создание методов, позволяющих быстро и удобно находить производные. Например, несложно посчитать, что

(Производная от постоянной, разумеется, равна нулю.) Нетрудно вывести общее правило:

где n - любое целое число или дробь. Например,

(На этом примере видно, как полезны дробные показатели степени.) Приведем некоторые важнейшие формулы:

Существуют также следующие правила: 1) если каждая из двух функций g(x) и f(x) имеет производные, то производная их суммы равна сумме производных этих функций, а производная разности равна разности производных, т.е.

2) производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

3) производная отношения двух функций имеет вид

4) производная функции, умноженной на константу, равна константе, умноженной на производную этой функции, т.е.

Часто бывает, что значения функции приходится вычислять поэтапно. Например, чтобы вычислить sin x2, нам необходимо сначала найти u = x2, а затем уже вычислить синус числа u. Производную таких сложных функций мы находим с помощью так называемого "цепного правила":

В нашем примере f(u) = sin u, f '(u) = cos u, следовательно,

откуда

Эти и другие, аналогичные им, правила позволяют сразу же выписывать производные многих функций.

Линейные аппроксимации. То обстоятельство, что, зная производную, мы можем во многих случаях заменить график

функции вблизи некоторой точки ее касательной в этой точке, имеет огромное значение, поскольку с прямыми легче

работать. Эта идея находит непосредственное приложение в вычислении приближенных значений функций. Например,

довольно трудно вычислить значение

при x = 1,033. Но можно воспользоваться тем, что число 1,033 близко к 1 и

что .

Вблизи x = 1 мы можем заменить график кривой

касательной, не совершая при этом сколько-нибудь серьезной ошибки. Угловой коэффициент такой касательной равен

значению производной (x^1/3)' = (1/3)x^-2/3 при x = 1, т.е. 1/3. Так как точка (1,1) лежит

на кривой и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен 1/3, уравнение касательной имеет вид

или

На этой прямой при х = 1,033

Полученное значение y должно быть очень близко к истинному значению y; и, действительно, оно лишь на 0,00012 больше истинного. В математическом анализе разработаны методы, позволяющие повышать точность такого рода линейных приближений. Эти методы обеспечивают надежность наших приближенных вычислений. Только что описанная процедура наводит на мысль об одном полезном обозначении. Пусть P - точка, соответствующая на графике функции f переменной х, и пусть функция f(x) дифференцируема. Заменим график кривой вблизи точки Р касательной к нему, проведенной в этой точке. Если х изменить на величину h, то ордината касательной изменится на величину h*f'(x). Если h очень мало, то последняя величина служит хорошим приближением к истинному изменению ординаты y графика. Если вместо h мы напишем символ dx (это не произведение!), а изменение ординаты y обозначим dy, то получим dy = f'(x)dx, или dy/dx = f'(x) (см. рис. 11). Поэтому вместо Dy или f'(x) для обозначения производной часто используется символ dy/dx. Удобство этого обозначения зависит главным образом от явного появления цепного правила (дифференцирования сложной функции); в новых обозначениях эта формула выглядит следующим образом:

Рис. 11.

где подразумевается, что у зависит от u, а u в свою очередь зависит от х. Величина dy называется дифференциалом у; в действительности она зависит от двух переменных, а именно: от х и приращения dx. Когда приращение dx очень мало, величина dy близка к соответствующему изменению величины y. Но предполагать, что приращение dx мало, нет необходимости. Производную функции y = f(x) мы обозначили f'(x) или dy/dx. Часто оказывается возможным взять производную от производной. Результат называется второй производной от f (x) и обозначается f"(x) или d 2y/dx2. Например, если f(x) = x3 - 3x2, то f'(x) = 3x2 - 6x и f"(x) = 6x - 6. Аналогичные обозначения используются и для производных более высокого порядка. Однако, чтобы избежать большого количества штрихов (равного порядку производной) четвертую производную (например) можно записать как f (4)(x), а производную n-го порядка как f (n)(x). Можно показать, что кривая в точке выпукла вниз, если вторая производная положительна, и выпукла вверх, если вторая производная отрицательна. Если функция имеет вторую производную, то изменение величины y, соответствующее приращению dx переменной х, можно приближенно вычислить по формуле

Это приближение, как правило, лучше, чем то, которое дает дифференциал f'(x)dx. Оно соответствует замене части кривой уже не прямой, а параболой. Если у функции f(x) существуют производные более высоких порядков, то

Остаточный член имеет вид

где x - некоторое число между x и x + dx. Приведенный выше результат называется формулой Тейлора с остаточным членом. Если f(x) имеет производные всех порядков, то обычно Rn (r) 0 при n (r) Ґ.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Площади. При изучении площадей криволинейных плоских фигур открываются новые аспекты математического анализа. Такого рода задачи пытались решать еще древние греки, для которых определение, например, площади круга было одной из труднейших задач. Больших успехов в решении этой проблемы добился Архимед, которому также удалось найти площадь параболического сегмента (рис. 12). С помощью весьма сложных рассуждений Архимед доказал, что площадь параболического сегмента составляет 2/3 от площади описанного прямоугольника и, следовательно, в данном случае равна (2/3)(16) = 32/3. Как мы увидим в дальнейшем, этот результат можно легко получить методами математического анализа.

Рис. 12.

Предшественники Ньютона и Лейбница, главным образом Кеплер и Кавальери, решали задачи о вычислении площадей криволинейных фигур с помощью метода, который трудно назвать логически обоснованным, но который оказался чрезвычайно плодотворным. Когда же Валлис в 1655 соединил методы Кеплера и Кавальери с методами Декарта (аналитической геометрией) и воспользовался только что зародившейся алгеброй, сцена для появления Ньютона была полностью подготовлена. Валлис разбивал фигуру, площадь которой требовалось вычислить, на очень узкие полоски, каждую из которых приближенно считал прямоугольником. Затем он складывал площади аппроксимирующих прямоугольников и в простейших случаях получал величину, к которой стремилась сумма площадей прямоугольников, когда число полосок стремилось к бесконечности. На рис. 13 показаны прямоугольники, соответствующие некоторому разбиению на полоски площади под кривой y = x2.

Рис. 13.

Основная теорема. Великое открытие Ньютона и Лейбница позволило исключить трудоемкий процесс перехода к пределу суммы площадей. Это было сделано благодаря новому взгляду на понятие площади. Суть в том, что мы должны представить площадь под кривой как порожденную ординатой, движущейся слева направо и спросить, с какой скоростью изменяется заметаемая ординатами площадь. Ключ к ответу на этот вопрос мы получим, если рассмотрим два частных случая, в которых площадь заранее известна. Начнем с площади под графиком линейной функции y = 1 + x, поскольку в этом случае площадь можно вычислить с помощью элементарной геометрии. Пусть A(x) - часть плоскости, заключенная между прямой y = 1 + x и отрезком OQ (рис. 14). При движении QP вправо площадь A(x) возрастает. С какой скоростью? Ответить на этот вопрос нетрудно, так как мы знаем, что площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований. Следовательно,

Рис. 14.

Скорость изменения площади A(x) определяется ее производной

Мы видим, что A'(x) совпадает с ординатой у точки Р. Случайно ли это? Попробуем проверить на параболе, изображенной на рис. 15. Площадь A (x) под параболой у = х2 в интервале от 0 до х равна A(x) = (1/3)(x)(x2) = x3/3. Скорость изменения этой площади определяется выражением

Рис. 15.

которое в точности совпадает с ординатой у движущейся точки Р. Если предположить, что это правило выполняется в общем случае так, что

есть скорость изменения площади под графиком функции y = f(x), то этим можно воспользоваться для вычислений и других площадей. На самом деле, соотношение A'(x) = f(x) выражает фундаментальную теорему, которую можно было бы сформулировать следующим образом: производная, или скорость изменения площади как функции от х, равна значению функции f (x) в точке х. Например, чтобы найти площадь под графиком функции y = x3 от 0 до х (рис. 16), положим

Рис. 16.

Возможный ответ гласит:

так как производная от х4/4 действительно равна х3. Кроме того, A(x) равна нулю при х = 0, как и должно быть, если A(x) действительно является площадью. В математическом анализе доказывается, что другого ответа, кроме приведенного выше выражения для A(x), не существует. Покажем, что это утверждение правдоподобно с помощью следующего эвристического (нестрогого) рассуждения. Предположим, что существует какое-либо второе решение В(x). Если A(x) и В(x) "стартуют" одновременно с нулевого значения при х = 0 и все время изменяются с одинаковой скоростью, то их значения ни при каком х не могут стать различными. Они должны всюду совпадать; следовательно, существует единственное решение. Как можно обосновать соотношение A'(x) = f(x) в общем случае? На этот вопрос можно ответить, лишь изучая скорость изменения площади как функции от х в общем случае. Пусть m - наименьшее значение функции f (x) в интервале от х до (x + h), а M - наибольшее значение этой функции в том же интервале. Тогда приращение площади при переходе от х к (x + h) должно быть заключено между площадями двух прямоугольников (рис. 17). Основания обоих прямоугольников равны h. Меньший прямоугольник имеет высоту m и площадь mh, больший, соответственно, М и Mh. На графике зависимости площади от х (рис. 18) видно, что при изменении абсциссы на h, значение ординаты (т.е. площадь) увеличивается на величину, заключенную между mh и Mh. Угловой коэффициент секущей на этом графике находится между m и M. Что происходит, когда h стремится к нулю? Если график функции y = f(x) непрерывен (т.е. не содержит разрывов), то и М, и m стремятся к f(x). Следовательно, угловой коэффициент A'(x) графика площади как функции от х равен f(x). Именно к такому заключению и требовалось придти.

Рис. 17.

Рис. 18.

Лейбниц предложил для площади под кривой y = f(x) от 0 до а обозначение

При строгом подходе этот так называемый определенный интеграл должен быть определен как предел некоторых сумм на манер Валлиса. Учитывая полученный выше результат, ясно, что этот интеграл вычисляется при условии, что мы можем найти такую функцию A(x), которая обращается в нуль при х = 0 и имеет производную A'(x), равную f (x). Нахождение такой функции принято называть интегрированием, хотя уместнее эту операцию было бы называть антидифференцированием, имея в виду, что она является в некотором смысле обратной дифференцированию. В случае многочлена интегрирование выполняется просто. Например, если

то

в чем нетрудно убедиться, продифференцировав A(x). Чтобы вычислить площадь А1 под кривой y = 1 + x + x2/2, заключенную между ординатами 0 и 1, мы просто записываем

и, подставляя х = 1, получаем A1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Площадь A(x) от 0 до 2 равна A2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Как видно из рис. 19, площадь, заключенная между ординатами 1 и 2, равна A2 - A1 = 11/3. Обычно она записывается в виде определенного интеграла

Рис. 19.

Объемы. Аналогичные рассуждения позволяют удивительно просто вычислять объемы тел вращения. Продемонстрируем

это на примере вычисления объема шара, еще одной классической задачи, которую древним грекам, с помощью известных

им методов, удалось решить с великим трудом. Повернем часть плоскости, заключенной внутри четверти круга радиуса r,

на угол 360° вокруг оси х. В результате мы получим полушарие (рис. 20), объем которого обозначим V(x).

Требуется определить, с какой скоростью возрастает V(x) с увеличением x. Переходя от х к х + h, нетрудно

убедиться в том, что приращение объема меньше, чем объем p(r2 - x2)h кругового цилиндра радиуса

и высотой h, и больше, чем объем p[[r2 - (x + h)2]]h

цилиндра радиуса и высотой h.

Следовательно, на графике функции V(x) угловой коэффициент секущей заключен между p(r2 - x2) и p[[r2 - (x + h)2]].

Когда h стремится к нулю, угловой коэффициент стремится к

Рис. 20.

Следовательно,

При x = r мы получаем

для объема полушария, и, следовательно, 4pr3/3 для объема всего шара. Аналогичный метод позволяет находить длины кривых и площади искривленных поверхностей. Например, если a(x) - длина дуги PR на рис. 21, то наша задача состоит в вычислении a'(x). Воспользуемся на эвристическом уровне приемом, который позволяет не прибегать к обычному предельному переходу, необходимому при строгом доказательстве результата. Предположим, что скорость изменения функции а(x) в точке Р такая же, какой она была бы при замене кривой ее касательной PT в точке P. Но из рис. 21 непосредственно видно, при шаге h вправо или влево от точки х вдоль РТ значение а(x) меняется на

Рис. 21.

Следовательно, скорость изменения функции a(x) составляет

Чтобы найти саму функцию a(x), необходимо лишь проинтегрировать выражение, стоящее в правой части равенства. Оказывается, что для большинства функций выполнить интегрирование довольно трудн

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального исчисления и интегрального исчисления.

сущ., кол-во синонимов: 2

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ.

Совокупность разделов математики, посвященных исследованию математических функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Использование методов М. а. является действенным средством решения важнейших дидактических проблем: интенсификации обучения, рационализации подачи учебного материала, совершенствования методов, способов и приемов обучения.

Составить слова из слова математический анализ

математический анализ частотного списка - для математической обработки частотного словаря на ЭВМ обходятся без буквенной записи словарной единицы, используя только ее ранг частотном списке и абсолютную частоту. В результате математического анализа могут быть получены параметры закона Мандельброта, абсолютная теоретическая частота, абсолютная эмпирическая частота, эмпирическая относительная частота, теоретическая относительная накопленная частота, максимальная и минимальная относительные ошибки и некоторые другие параметры математической лингвистики.

Составить слова из слова математический анализ частотного списка

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (МИАН) - МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ ИНСТИТУ́Т (МИАН) им. В. А. Стеклова РАН, организован в 1934 в Москве на базе Физико-математического института АН (основан в 1921). Исследования по основным проблемам современной теоретической математики и ряду ее приложений. На базе института созданы многие математические научно-исследовательские учреждения.

Составить слова из слова математический институт (миан)

▲ символ (графический)

↑ математический

математический символ.

цифры - знаки для записи (обозначения) чисел.

арабские цифры.

минус, -

плюс, +, | знак умножения х

знак равенства, =

процент, %

номер

радикал, корень.

Составить слова из слова математический символ

▲ выражение

↑ математический

математическое выражение - изображение математической зависимости.

алгебраическое выражение.

одночлен, моном. двучлен, бином. трехчлен. многочлен, полином.

биномиальный. полиномиальный.

формула - запись математической зависимости, равенство

(вывести формулу. считать по формуле. подставить в формулу значения).

алгебраическая дробь - дробь, содержащая неизвестные (переменные).

равенство. неравенство (тригонометрическое #).

↓ функция (математическая), алгебра

см. соотношение, построение, зависимость

Составить слова из слова математическое выражение

▲ алгебраическая функция

↑ обратный, фактор

<-> умножение

деление - функция, находящаяся в обратном соответствии от аргумента;

операция, обратная умножению; нахождение кратной величины;

если величина является произведением двух других исходных величин, то исходные величины выражаются через две другие путем деления их.

обратная зависимость. обратная пропорциональность. обратная величина.

делимое. делитель. частное.

остаток (мат). | делить, -ся. разделить, -ся. | разбить на сколько частей.

дробь. числитель. знаменатель.

смешанная дробь, смешанное число.

аликвотная дробь (числитель равен единице), египетская дробь.

десятичная дробь - обыкновенная дробь, знаменатель которой есть степень десяти.

дробно - линейная функция. | рациональный (# дробь. # число). иррациональный.

↓ кратный

Составить слова из слова математическое деление

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, смотри Машинный эксперимент.

Составить слова из слова математическое моделирование

Математи́ческое обеспе́чение ЭВМ - комплекс программ, описаний и инструкций, обеспечивающих автоматическое функционирование ЭВМ. Различают общее математическое обеспечение (для организации вычислительного процесса на данной ЭВМ) и специальное математическое обеспечение (для решения конкретных задач).

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ - МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЕ ОБЕСПЕ́ЧЕНИЕ ЭВМ, комплекс программ, описаний и инструкций, обеспечивающих автоматическое функционирование ЭВМ. Различают общее математическое обеспечение (для организации вычислительного процесса на данной ЭВМ) и специальное математическое обеспечение (для решения конкретных задач).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ - комплекс программ, описаний и инструкций, обеспечивающих автоматическое функционирование ЭВМ. Различают общее математическое обеспечение (для организации вычислительного процесса на данной ЭВМ) и специальное математическое обеспечение (для решения конкретных задач).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ, то же, что программное обеспечение ЭВМ. Иногда к математическому обеспечению ЭВМ (электронных вычислительный машин) относят также библиотеки алгоритмов и собрания общих математических и вычислительных методов решения задач на ЭВМ.

Составить слова из слова математическое обеспечение эвм