ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ - совокупности соединенных определенным образом элементов и устройств, образующих путь для прохождения электрического тока. Теория цепей - раздел теоретической электротехники, в котором рассматриваются математические методы вычисления электрических величин. Многие из этих электрических величин определяются параметрами компонентов, составляющих цепи, - сопротивлениями резисторов, емкостями конденсаторов, индуктивностями катушек индуктивности, токами и напряжениями источников электрической энергии. Электрические цепи подразделяются на цепи постоянного тока и цепи переменного тока.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Ток. Сила электрического тока в проводе определяется как электрический заряд, проходящий через поперечное сечение провода за единицу времени. Заряд измеряется в кулонах; один кулон в секунду равен одному амперу. Направлением тока далее будем считать направление, в котором двигались бы положительные заряды. На самом деле ток в большинстве случаев создается движением электронов, которые, будучи заряжены отрицательно, движутся в направлении, противоположном принятому за направление тока. Ток неизменяющейся силы обозначается через I, а мгновенное значение изменяющегося тока - через i.
Потенциал. Если для перемещения заряда между двумя точками необходимо затратить энергию или если при перемещении заряда между двумя точками заряд приобретает энергию, то говорят, что в этих точках имеется разность потенциалов. Энергия необходима для перемещения заряда от более низкого потенциала к более высокому. На схемах рядом с точкой более высокого потенциала ставится знак +, а рядом с точкой более низкого - знак -. Батарея или генератор электрического тока - это устройство, которое сообщает энергию зарядам. Источник тока перемещает положительные заряды от меньшего потенциала к большему за счет химической энергии. Неизменяющаяся разность потенциалов обозначается через V, а мгновенное значение изменяющейся разности потенциалов - через e. Разность потенциалов на зажимах батареи или генератора называется электродвижущей силой (ЭДС) и обозначается через Eg, если она не изменяется, и через eg, если она переменна.
Разность потенциалов в двух точках a и b обозначается через Vab. Разность потенциалов и ЭДС измеряются в вольтах.
ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ
Цепь может представлять собой любую комбинацию батарей и генераторов, а также резистивных и реактивных элементов. Батареи и генераторы в теории цепей рассматриваются либо как источники напряжения (ЭДС) с определенным внутренним сопротивлением, либо как источники тока с определенной внутренней проводимостью. Цепь, не содержащая источников тока и напряжения, называется пассивной, а цепь с источниками тока или напряжения - активной. Целью анализа цепи является определение полного сопротивления (импеданса) между любыми двумя точками цепи и нахождение математического выражения для тока через любой элемент цепи или для напряжения на любом элементе цепи при любых заданных ЭДС источников напряжения и любых токах источников тока. Всякий замкнутый путь тока в цепи называется контуром. Узлом цепи называется всякая ее точка, в которой соединяются три или большее число ветвей цепи. На рис. 1 представлена цепь с двумя контурами. Стрелками I1, I2 и I3 показано предполагаемое направление токов в импедансах этих контуров. От токов не требуется, чтобы они были в фазе; но в простейшем случае, когда импедансы - сопротивления, решение уравнений относительно любого тока I будет отрицательным, если принято неправильное направление тока. Поэтому предполагаемое направление токов может быть любым. Принятые положительные и отрицательные потенциалы, соответствующие ЭДС источников напряжения, указаны знаками + и -. Следует иметь в виду, что напряжение на импедансе понижается в направлении тока и повышается в противоположном направлении. Это тоже указано знаками + и -.
Законы Кирхгофа. Зависимости между токами и напряжениями в электрической цепи устанавливаются на основании двух законов, сформулированных Г.Кирхгофом (1847): 1) алгебраическая сумма ЭДС источников напряжения и напряжений на элементах контура равна нулю и 2) алгебраическая сумма токов в каждом узле равна нулю.
Рис. 1. ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА. Схема для вычисления напряжений при обходе контуров.
В первом законе Кирхгофа находит выражение то очевидное обстоятельство, что при полном обходе контура мы возвращаемся в исходную точку с тем же самым потенциалом. Второй закон Кирхгофа есть констатация того, что в узловой точке ток не может ни исчезать, ни возникать. Ток к узлу считается положительным, а ток от узла - отрицательным. Применив закон Кирхгофа для напряжений к двум контурам цепи, представленной на рис. 1 (и воспользовавшись законом Ома - выражением VZ = IZ для напряжения на импедансе Z, создаваемого током I), мы получим для контура 1 уравнение
а для контура 2 - уравнение
Применив закон Кирхгофа для токов к любому из узлов, получаем
Если ЭДС (Eg)1 и (Eg)2, а также импедансы известны, то из уравнений (1)-(3) можно вычислить все три тока. Контурные токи. В случае цепей с большим числом контуров метод контурных токов позволяет не записывать уравнения для токов, следующие из второго закона Кирхгофа. Для этого в той же цепи, что и раньше, представленной на рис. 2, принимают один ток для каждого контура. Как и прежде, направление токов выбирается произвольно. Закон Кирхгофа для напряжений дает для контура 1
а для контура 2
В напряжение на импедансе Z3, рассматриваемом как элемент одного контура, входит напряжение, обусловленное током другого контура: в уравнении (4) имеется слагаемое (-Z3I2), а в уравнении (5) - слагаемое (-Z3I1). Уравнения (4) и (5) можно было бы получить из уравнений (1)-(3), подставив в первые два ток I2 из третьего, но метод контурных токов приводит к тому же результату всего за два шага.
Рис. 2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ упрощает получение тех же уравнений для токов, что и в случае рис. 1.
Принцип суперпозиции. Предположим, что в активной цепи в разных ее точках имеется несколько источников напряжения или тока. Согласно принципу суперпозиции, ток, создаваемый любым источником в любом элементе цепи, не зависит от других источников. Следовательно, полный ток в любом элементе равен сумме токов, создаваемых всеми источниками по отдельности. При вычислении тока, создаваемого каждым из источников напряжения или тока, другие источники напряжения заменяются их внутренними импедансами, а другие источники тока - их внутренними проводимостями.
Теорема Тевенена. Эта теорема, называемая также теоремой об эквивалентном источнике, утверждает, что любую активную цепь с двумя полюсами (зажимами) в установившемся режиме можно заменить источником напряжения с некоторым внутренним импедансом. ЭДС эквивалентного источника напряжения равна напряжению на полюсах ненагруженного заменяемого двухполюсника, а внутренний импеданс источника равен импедансу этого двухполюсника при ЭДС источников напряжения в нем, равных нулю. Рассмотрим, например, цепь, представленную на рис. 3. Эта активная цепь заменяется источником напряжения, ЭДС Egў и внутренний импеданс Zgў которого таковы:
ЭДС E'g есть напряжение на разомкнутых полюсах a и b, равное напряжению на Z1. Внутренний импеданс Z'g равен импедансу между точками a и b исходного двухполюсника, т.е. импедансу последовательного соединения Z2 с параллельно соединенными Z1 и Zg. Для любого элемента, присоединенного к полюсам a и b обоих двухполюсников, токи и напряжения будут одинаковы.
Рис. 3. ТЕОРЕМА ТЕВЕНЕНА. Внутренний импеданс Zg эквивалентного источника напряжения равен импедансу между полюсами a и b, который слагается из Z2 и параллельно соединенных друг с другом Z1 и Zg.
Теорема Нортона. Эта теорема, аналогичная теореме Тевенена, утверждает, что любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока с некоторой внутренней проводимостью. Ток эквивалентного источника равен току короткого замыкания между полюсами a и b исходного двухполюсника. Внутренняя проводимость эквивалентного источника тока определяется тем же, что и в теореме Тевенена, импедансом между полюсами двухполюсника, присоединенным параллельно источнику. На рис. 4
а импеданс Z'g дается выражением (7). Если полюса a и b исходного двухполюсника замкнуть накоротко, то источник напряжения с ЭДС Eg будет нагружен импедансом Zg и параллельным соединением импедансов Z1 и Z2, откуда и следует выражение (8).
Рис. 4. ТЕОРЕМА НОРТОНА. Позволяет заменить ту же цепь, что и на рис. 3, эквивалентным источником тока Ig с внутренней проводимостью, представленной параллельным импедансом Zg.
Преобразование Т-П. Часто требуется заменить Т-образный четырехполюсник П-образным или наоборот. Чтобы два таких четырехполюсника (рис. 5) были эквивалентны, должны быть одинаковы токи и напряжения между их полюсами при прочих равных условиях за пределами полюсов. Параметры цепи для преобразования Т - П таковы:
Формулы для преобразования П - Т имеют вид
Рис. 5. Т- И П-ОБРАЗНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ эквивалентны при определенных соотношениях параметров (преобразования Т - П и П - Т).
Переходные процессы. Переходным называется процесс изменения электрических величин в цепи при ее переходе из одного установившегося режима в другой. При анализе переходных процессов ток, напряжение или заряд в некоторой точке цепи обычно представляют в виде функции времени. Рассмотрим цепь с источником напряжения (батареей с ЭДС Eg), представленную на рис. 6. После замыкания ключа сумма мгновенных значений напряжения на резисторе и конденсаторе должна быть равна Eg:
или, иначе,
Рис. 6. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС начинается при замыкании ключа (Eg - постоянная ЭДС батареи).
Поскольку i = dq/dt, уравнение (10) можно переписать в виде дифференциального уравнения
решение которого таково:
Соответствующий ток равен:
где e - основание натуральных логарифмов. На рис. 7 представлены графики изменения заряда конденсатора q и тока i во времени. В начальный момент (t = 0), когда ключ только замкнут, заряд конденсатора равен нулю, а ток равен Eg /R, как если бы конденсатора в цепи не было. Затем заряд конденсатора нарастает по экспоненте. Обусловленное зарядом напряжение на конденсаторе направлено навстречу ЭДС источника, и ток по экспоненте убывает до нуля. В момент замыкания ключа конденсатор эквивалентен короткому замыканию, а по истечении достаточно длительного времени (при t = беск.) - разрыву цепи.
Рис. 7. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС, зависимость заряда конденсатора q и тока через конденсатор i от времени t.
Постоянная времени RC-цепи определяется как время, за которое заряд достигает значения, на 1/e (36,8%) отличающегося от конечного значения. Она дается выражением
Аналогичные рассуждения можно провести для RL-цепи, представленной на рис. 8. Сумма мгновенных напряжений eR и eL должна быть равна Eg. Это условие записывается в виде дифференциального уравнения
решение которого таково:
Рис. 8. RL-ЦЕПЬ. Сумма мгновенных значений напряжений eR и eL должна быть равна Eg.
На рис. 9 решение (11) представлено в графической форме. Сразу же после замыкания ключа (при t = 0) ток начинает быстро увеличиваться, наводя большое напряжение на катушке индуктивности. Наведенное напряжение противодействует изменению тока. По мере того как нарастание тока замедляется, наведенное напряжение уменьшается. При t = Ґ ток не меняется, и наведенное напряжение равно нулю. Таким образом, в конце концов ток принимает значение, которое он имел бы, если бы в цепи не было катушки индуктивности. (При t = 0 катушка индуктивности эквивалентна разрыву цепи, а по истечении достаточно длительного времени - короткому замыканию.)
Рис. 9. ТОК В RL-ЦЕПИ, соответствует уравнению (11).
Постоянная времени RL-цепи определяется как время, за которое ток достигает значения, на 1/e отличающегося от конечного значения. Она дается выражением
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
Мост Уитстона. Мост Уитстона - это схема электрической цепи для точного измерения сопротивлений на постоянном токе. Соответствующая принципиальная схема представлена на рис. 10, где измеряемое сопротивление обозначено через Rx. Остальные сопротивления известны, и их можно изменять. Если известные сопротивления подобрать так, чтобы высокочувствительный амперметр A показывал отсутствие тока, это означало бы, что потенциал точек b и c одинаков. В таком случае, обозначив ток через резисторы R1 и R3 символом I1, а ток через R2 и Rx - символом I2, можно записать
Поделив равенство (13) на (12) и решив полученное уравнение относительно Rx, находим
Рис. 10. МОСТ УИТСТОНА для измерения сопротивлений.
Схемой моста Уитстона можно пользоваться и для измерения полных сопротивлений (импедансов) на переменном токе. Для этого нужно вместо батареи взять источник напряжения переменного тока, а амперметр A заменить детектором переменного тока. Анализ схемы проводится аналогично, но в комплексных обозначениях.
Интегрирующая и дифференцирующая цепи. Дифференцирующей будет при некоторых приближенно выполняющихся условиях цепь рис. 6, если в ней источником напряжения является генератор напряжения e(t), зависящего от времени. Тогда уравнение (10) будет иметь вид
При малых R и C слагаемым iR можно пренебречь по сравнению с q/C:
что дает
Это эквивалентно требованию, чтобы постоянная времени RC была мала по сравнению с периодом напряжения e(t). Если такое условие выполняется, то напряжение на резисторе дается выражением
т.е. величина eR пропорциональна производной входного напряжения. Если постоянная времени велика, а напряжение снимается с конденсатора, то эта цепь будет интегрирующей. В таком случае в уравнении (14) можно пренебречь величиной q/C по сравнению с iR, так что
или
Поскольку C = dq/dt, а q = 8 idt, напряжение на конденсаторе можно записать в виде
т.е. напряжение eC пропорционально интегралу входного напряжения.
Фильтры. Фильтры - это электрические цепи, пропускающие лишь определенные частоты и задерживающие все остальные. Идеальный фильтр верхних частот имеет полосу пропускания выше заданной "частоты среза" и полосу задерживания для более низких частот. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания, расположенную между двумя заданными частотами среза. Общая схема включения фильтра показана на рис. 11. В качестве примера на рис. 12,a представлен фильтр нижних частот, включенный между генератором и нагрузкой R. На низких частотах импеданс катушек индуктивности мал, а конденсатора - велик, и почти весь ток проходит через нагрузку R. На высоких частотах импеданс катушек индуктивности велик, из-за чего снижается ток, а импеданс конденсатора мал, так что он как бы замыкает накоротко цепь малого тока, проходящего через первую катушку индуктивности. Справа на рис. 12,a представлен график зависимости отношения E2 /(Eg /2) от частоты, деленной на частоту среза. Как нетрудно видеть, в области высоких частот сигнал быстро затухает. Однако реальная частотная характеристика заметно отличается от характеристики (с резким частотным срезом) идеального фильтра нижних частот. На рис. 12,б и в представлены схемы полосового фильтра и фильтра верхних частот с соответствующими частотными характеристиками.
Рис. 11. ФИЛЬТР для выделения определенных частот из выходного сигнала генератора.
Рис. 12. ФИЛЬТРЫ. a - фильтр нижних частот; б - полосовой фильтр; в - фильтр верхних частот. Слева - типичные схемы, справа - соответствующие частотные характеристики.
ЛИТЕРАТУРА
Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. М., 1975 Татур Г.А. Основы теории электрических цепей. М., 1980 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи. М., 1984