Все словари русского языка: Толковый словарь, Словарь синонимов, Словарь антонимов, Энциклопедический словарь, Академический словарь, Словарь существительных, Поговорки, Словарь русского арго, Орфографический словарь, Словарь ударений, Трудности произношения и ударения, Формы слов, Синонимы, Тезаурус русской деловой лексики, Морфемно-орфографический словарь, Этимология, Этимологический словарь, Грамматический словарь, Идеография, Пословицы и поговорки, Этимологический словарь русского языка.

множа(йш)е

Архаизмы

Полезные сервисы

множайший

Толковый словарь Ушакова

Орфографический словарь

Полезные сервисы

множащий

множащийся

множенный

Орфографический словарь

мно́женный; кратк. форма -ен, -ена, прич.

Синонимы к слову множенный

прил., кол-во синонимов: 3

Морфемно-орфографический словарь

Полезные сервисы

множено перемножено

Поговорки

чего. Урал. О большом количестве чего. СРНГ 18, 188.

Полезные сервисы

множеств теория

Энциклопедический словарь

Мно́жеств тео́рия - раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) x принадлежит множеству M, записывают <a href='/dict/множеств' class='wordLink' target='_blank'>множеств</a> <a href='/dict/теория' class='wordLink' target='_blank'>теория</a>. Теория множеств лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счётное множество, Континуум.

* * *

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ - МНО́ЖЕСТВ ТЕО́РИЯ, раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество (см. ПОДМНОЖЕСТВО), Объединение множеств (см. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ), Пересечение множеств (см. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ), Пустое множество (см. ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО), Счетное множество (см. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО), Континуум (см. КОНТИНУУМ).

Большой энциклопедический словарь

Энциклопедия Кольера

Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов. Терминология и многие результаты этой теории широко используются в математике, например в математическом анализе, геометрии и теории вероятностей.

Терминология. Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то множество B называется подмножеством множества A. Например, если множество A состоит из чисел 1, 2 и 3, то у него существует 8 подмножеств (три из них содержат по 1 элементу, три - содержат по 2 элемента, одно подмножество, по определению, есть само множество A и восьмое подмножество - это пустое множество, не содержащее ни одного элемента). Запись x О A означает, что x - элемент множества A, а B М A - что B является подмножеством множества A. Если универсальное множество, из которого мы берем элементы всех множеств, обозначить через I, то элементы, принадлежащие I, но не входящие в A, образуют множество, называемое дополнением множества A и обозначаемое C(A) или A'. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Над множествами можно производить операции, напоминающие операции, производимые в арифметике над числами. Объединением AB множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B (элемент, принадлежащий множествам A и B одновременно засчитывается при включении в AB только один раз). Пересечением AB множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B. Предположим, например, что множество I состоит из всех букв русского алфавита, A - из всех согласных, а множество B - из букв, встречающихся в слове "энциклопедия". Тогда объединение AB состоит из всех букв алфавита, кроме а, е, у, ъ, ь, ы, ю, пересечение AB - из букв д, к, л, н, п, ц, а дополнение C(A) - из всех гласных. Раздел теории множеств, который занимается исследованием операций над множествами, называется алгеброй множеств. Пустое множество играет в алгебре множеств роль нуля, и поэтому его часто обозначают символом О; например, AO = A, AO = O. Булева алгебра. Алгебра множеств является подразделом булевых алгебр, впервые возникших в трудах Дж. Буля (1815-1864). В аксиомах булевой алгебры отражена аналогия между понятиями "множества", "событие" и "высказывания". Логические высказывания можно записать с помощью множеств и проанализировать с помощью булевой алгебры. Даже не вдаваясь в детальное изучение законов булевой алгебры, мы можем получить представление о том, как она используется на примере одной из логических задач Льюиса Кэрролла. Пусть у нас имеется некоторый набор утверждений: 1. Не бывает котенка, который любит рыбу и которого нельзя научить всяким забавным штукам; 2. Не бывает котенка без хвоста, который будет играть с гориллой; 3. Котята с усами всегда любят рыбу; 4. Не бывает котенка с зелеными глазами, которого можно научить забавным штукам; 5. Не бывает котят с хвостами, но без усов. Какое заключение можно вывести из этих утверждений? Рассмотрим следующие множества (универсальное множество I включает в себя всех котят): A - котята, любящие рыбу; B - котята, обучаемые забавным штукам; D - котята с хвостами; E - котята, которые будут играть с гориллой; F - котята с зелеными глазами и G - котята с усами. Первое утверждение гласит, что множество котят, которые любят рыбу, и дополнение множества котят, обучаемых забавным штукам, не имеют общих элементов. Символически это записывается как 1. AC(B) = O. Аналогичным образом остальные утверждения можно записать так: 2. C(D)E = O; 3. G М A; 4. BF = O; 5. D М G. Принимая во внимание теоретико-множественный смысл символов (или воспользовавшись законами булевой алгебры), мы можем переписать утверждения 1, 2 и 4 в виде 1. A М B; 2. E М D; 4. B М C(F). Таким образом, мы переформулировали исходные утверждения в следующие: 1. Котят, которые любят рыбу, можно обучить забавным штукам; 2. У котят, которые будут играть с гориллой, есть хвосты; 4. У котят, которых можно обучить забавным штукам, глаза не зеленые; Теперь можно расположить символические записи утверждений в таком порядке, чтобы последний символ предыдущего утверждения совпадал с первым символом следующего (этому условию удовлетворяет расположение утверждений в порядке 2, 5, 3, 1, 4). Возникает цепочка включений E М D М G М A М B М C(F), из которой можно сделать вывод, что E М C(F) или "Не бывает котенка с зелеными глазами, который будет играть с гориллой". Такое заключение едва ли очевидно, если рассматривать пять исходных утверждений в их словесной формулировке.

Сравнение множеств. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Например, мы знаем, что американские штаты находятся во взаимно однозначном соответствии с их столицами, хотя можем оставаться в неведении относительно общего их числа. Мы могли бы утверждать: "Столиц штатов ровно столько, сколько штатов". Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В теории множеств аналогичные утверждения используются, даже когда множества содержат бесконечно много элементов. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность. С понятием мощности связаны, казалось бы, удивительные результаты. Например, на первый взгляд положительных целых чисел в два раза больше, чем четных положительных чисел, так как четно каждое второе число. Но, согласно теории множеств, четных положительных чисел столько же, сколько всех положительных целых чисел. Действительно, можно образовать пары чисел 2 и 1, 4 и 2, 6 и 3 и, вообще каждому четному числу 2n поставить в соответствие целое число n. Именно это обстоятельство имел в виду Б. Рассел (1872-1970), сформулировав факт, названный им парадоксом Тристрама Шенди. Герой романа Стерна сетовал на то, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, еще один год понадобился, чтобы описать второй день, и что при таком темпе он никогда не завершит свое жизнеописание. Рассел возразил, заметив, что если бы Тристрам Шенди жил вечно, то смог бы закончить свое жизнеописание, так как события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в летописи его жизни ни один день не остался бы не запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней. Эти примеры показывают, что бесконечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие со своим бесконечным подмножеством. Иногда это свойство принимают за определение бесконечного. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между некоторым множеством и множеством положительных целых чисел, то говорят, что такое множество счетно. Для обозначения количества элементов в счетном множестве часто используют символ А0 (алеф-нуль). Так называемые "трансфинитные" числа, например А0, могут не подчиняться обычным законам арифметики. Например, так как существует А0 четных чисел, А0 нечетных и А0 целых чисел, то приходится признать, что А0 + А0 = А0. Идея сравнения множеств путем установления взаимно однозначного соответствия между ними используется в различных разделах математики. Число всех действительных чисел, как показал основатель научной теории множеств Г. Кантор (1845-1918), больше, чем А0 чисел. Следовательно, если можно показать, что множество действительных чисел, обладающих некоторым особым свойством, является всего лишь счетным множеством, то заведомо должны существовать действительные числа, этим свойством не обладающие. Например, так как множество алгебраических чисел счетно, должны существовать неалгебраические числа. Такие числа называются трансцендентными. Поразительная и далеко не очевидная теорема, высказанная в качестве гипотезы Кантором и доказанная Э. Шредером и Ф. Бернштейном около 1896, утверждает, что если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и подмножеством множества B, и между множеством B и подмножеством множества A, то существует взаимно однозначное соответствие между всем множеством A и всем множеством B.

Парадоксы. Мы уже упоминали о том, что в теории множеств встречаются такие утверждения, как парадокс Тристрама Шенди, которые выглядят противоречащими здравому смыслу. Эти парадоксы возникают просто потому, что теория множеств, подобно многим математическим и физическим теориям, облекает свои идеи в обычные слова, вкладывая в них особый смысл. Однако существуют и парадоксы, возникающие из-за внутренних логических трудностей самой теории множеств. Обильным источником парадоксов такого типа служит широко распространенная практика задания множества путем указания некоторого свойства его элементов, например, "множество, состоящее из английских слов, содержащих менее 19 букв". Некритическое использование такого рода определений может привести к трудностям. Например, некоторые статьи в этой энциклопедии содержат ссылки на себя, другие таких ссылок не содержат. Мы могли бы включить в нашу энциклопедию дополнительную статью, состоящую только из перечня статей, не содержащих ссылок на себя. Принадлежала бы такая статья множеству статей, не содержащих ссылок на себя, или не принадлежала бы? Любой ответ противоречил бы отличительному свойству, которым по их определению наделены элементы множества. Это - одна из форм так называемого парадокса Рассела, названного в честь своего автора Бертрана Рассела. "Множество всех множеств" - еще одно понятие, также приводящее к парадоксу. Существование парадоксов показывает, с какой осторожностью следует пользоваться терминологией теории множеств. Тем не менее теория множеств настолько полезна, что большинство математиков не хотели бы отказываться от нее. Было затрачено много усилий, чтобы развить методы, позволяющие исключить возникновение парадоксов в теории множеств. В приложениях теории множеств к другим разделам математики универсальное множество I обычно само является некоторым определенным множеством и парадоксальные ситуации здесь не возникают.

Аксиома выбора. Неожиданные трудности в теории множеств могут возникнуть, казалось бы, в самых простых случаях. Если, например, задано семейство непересекающихся множеств, ни одно из которых не пусто, то интуитивно кажется очевидным, что мы можем построить новое множество, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества, входящего в это семейство. Но если наше семейство содержит бесконечно много множеств, то для построения нового множества может потребоваться бесконечное число произвольных выборов, а законность такого процесса при тщательном анализе становится отнюдь не очевидной. Аксиома выбора, утверждающая, что такое множество существует, была впервые сформулирована в 1904 Э. Цермело (1871-1953). До сих пор не удалось показать, что аксиома выбора следует из остальных аксиом теории множеств. Но около 1938 К.Гедель (1906-1978) показал, что если теория множеств непротиворечива (т.е. не содержит внутренних противоречий) без аксиомы выбора, то она остается непротиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора.

См. также

АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА;

ФУНКЦИЯ.

ЛИТЕРАТУРА

Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970

Полезные сервисы

множественно

Синонимы к слову множественно

нареч, кол-во синонимов: 1

Полезные сервисы

множественное описание

множественное число

Толковый словарь Ожегова

Лингвистические термины

Пятиязычный словарь лингвистических терминов

См. plurale.

Полезные сервисы

множественное число аппроксимативное

множественное число ассоциативное

множественное число ассоциативное (репрезентативное, аппроксимативное)

множественное число видовое

множественное число неопределенное

множественное число репрезентативное

множественное число родовое

множественное число существительных

множественное число эмфатическое

множественность

Толковый словарь

ж.

отвлеч. сущ. по прил. множественный

Толковый словарь Ушакова

Толковый словарь Ожегова

Академический словарь

Орфографический словарь

Формы слов для слова множественность

Синонимы к слову множественность

Антонимы к слову множественность

Грамматический словарь

Полезные сервисы

множественность мнений

Синонимы к слову множественность мнений

сущ., кол-во синонимов: 2

Полезные сервисы

множественный

Толковый словарь

Толковый словарь Ушакова

Толковый словарь Ожегова

Энциклопедический словарь

Академический словарь

Орфографический словарь

Формы слов для слова множественный

Синонимы к слову множественный

Тезаурус русской деловой лексики

Идеография

Морфемно-орфографический словарь

Грамматический словарь

Полезные сервисы

множественный выбор

Методические термины

Полезные сервисы

множество

Толковый словарь

Толковый словарь Ушакова

Толковый словарь Ожегова

Толковый словарь Даля

Словарь существительных

Энциклопедический словарь

Большой энциклопедический словарь

Академический словарь

Поговорки

Многое множество. Волог., Дон. О большом количестве чего. СДГ 2, 138; СРНГ 18, 185.

Орфографический словарь

Формы слов для слова множество

Синонимы к слову множество

сущ., кол-во синонимов: 88

арава (2)

армада (6)

армия (46)

арсенал (10)

батарея (12)

без счета (53)

без счету (38)

без числа (50)

бездна (41)

бесчисленность (16)

более чем достаточно (42)

большое количество (44)

большое число (24)

в избытке (65)

вагон (96)

великое множество (15)

воз (26)

ворох (21)

гибель (49)

гора (76)

град (16)

груда (19)

избыток (22)

изобилие (42)

каскад (20)

кипа (24)

кодла (18)

кодло (21)

континуум (7)

короб (28)

косяк (31)

куча (50)

лавина (31)

легион (25)

лес (165)

лик (17)

масса (96)

миллионы (7)

мириады (21)

много (196)

многое множество (8)

множественность (5)

море (51)

навал (8)

немало (107)

несметное количество (33)

несметное число (25)

обилие (40)

огромное количество (33)

огромное число (22)

озев (5)

палестина (9)

подмножество (1)

полк (30)

полно (136)

полчище (26)

поток (55)

предостаточно (58)

премножество (9)

пропасть (48)

прорва (38)

пучок (26)

раздолье (17)

разливанное море (8)

разнообразие (15)

рой (36)

сборище (40)

сила (117)

силища (3)

сколько душе угодно (50)

сколько угодно (64)

сколько хочешь (59)

скопище (13)

сонм (9)

сонмище (7)

стая (35)

строй (48)

табун (26)

туча (29)

тьма (57)

тьма тем (17)

тьма-тьмущая (38)

уйма (41)

уймище (23)

хор (30)

целый короб (17)

целый ряд (28)

чертова гибель (10)

МНОЖЕСТВО

МНОЖЕСТВО, изобилие, лавина, море, обилие, поток, разг. бездна, разг. вагон, разг. воз, разг. куча, разг. масса, разг. пропасть, разг. тьма, разг. уйма, разг. уймища, разг.-сниж. гибель, разг.-сниж. прорва, разг.-сниж. сила, разг.-сниж. тьма-тьмущая

Тезаурус русской деловой лексики

Идиоматика

Идеография

, совокупность

однородный

множество - совокупность объектов, имеющих к-л. общую характеристику;

однородная совокупность; совокупность видов;

неупорядоченная совокупность однородных попарно различных элементов;

оно включает все такие элементы; если не все, то это подмножество.

каждое множество может быть элементом другого множества; множество - вид классов (матем).

класс - не может быть элементом другого класса или множества (матем).

гнездо (# слов).

спектр, в физике - совокупность всех характеристических значений физической величины.

сборище.

подбор (# кушаний). | выбор (# товаров).

арсенал (# средств).

сортамент, сортимент. | созвездие (# талантов).

круг (# друзей. # действующих лиц. # вопросов. # обязанностей).

круги (официальные #. # интеллигенции).

он и ему подобные. среди себе подобных.

из того же ряда.

букет.

сборник. свод.

ансамбль. хор. | ассорти.

контингент.

сводка.

собирательные понятия - обозначают множество однородных предметов (толпа. библиотека).

систематическая категория, химический элемент

сообщество животных, алфавит, собрание (предметов)

который, когда-л. умножение, численность

общий, классификация, выбор, согласованный, перечень

Морфемно-орфографический словарь

Грамматический словарь

Сканворды для слова множество

Полезные сервисы

множество лингвистических единиц

множивший

множившийся

множимое

Толковый словарь

Толковый словарь Ушакова

Энциклопедический словарь

Академический словарь

Орфографический словарь

Морфемно-орфографический словарь

мно́ж/им/ое, -ого.

Грамматический словарь

Сканворды для слова множимое

Полезные сервисы

множимые

Формы слов для слова множимые

Полезные сервисы

множимый

множитель

Толковый словарь

Толковый словарь Ушакова

Энциклопедический словарь

Академический словарь

Сканворды для слова множитель

Полезные сервисы